勾股定理课件教案3篇。
每个老师都需要在课前有一份完整教案课件,相信老师对要写的教案课件不会陌生。教案是教师思想与行动的有机统一有助于提高教学水平。为了满足您的需求我整理了以下信息:“勾股定理课件教案”,请将这篇文章保存下来以方便日后查看!
勾股定理课件教案【篇1】
1、教学目标
①、了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理的内容。
②、在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想。
③通过观察课件探究拼图等活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维,体验解决问题方法的多样性,并学会与人合作、与人交流,培养学生的合作交流意识和探索精神。
④、在对勾股定理历史的了解过程中,感受数学文化,增强爱国情操,激发学习热情,养成关爱生活、观察生活、思考生活的习惯。
2、目标解析
①、通过学生了解“赵爽弦图”、了解“毕达哥拉斯”探究勾股定理的过程而猜想、验证勾股定理,自愿接受这一理论事实并能简单运用。
②、通过面积法探究勾股定理,让学生感触到直角三角形这一图形与a2+b2=c2数量关系建立对应关系,同时不同图形从面积角度的论证得到面积的割补是形的变化而面积这一数量不变。更深层次的建立数形结合的方法。
③、通过观察、探究的活动让学生感触知识的产生过程,学生从中学会合作交流,协作探究、归纳总结的学习方法,提高学生的探索能力。
④、勾股定理知识是我国数学领域的璀璨明珠,代表着历代人民智慧和探索精神的结晶。通过学生亲身再次重温它的得来的过程从中感触我国数学知识源远流长和数学价值的伟大从中得到良好的思想的熏陶。
勾股定理课件教案【篇2】
探索勾股定理第1课时教学设计
一、教学目标
(1知识与技能目标:用数格子(或割、补等)的方法体验勾股定理的探索过程,)会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
(2)过程与方法目标:在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程,并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
(3)情感态度与价值观目标:在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理的由来,激励学生发奋学习。
二、教学重点及难点
重点:经历探索及验证勾股定理的过程,并能用它来解决一些简单的实际问题。
难点:以直角三角形为边的正方形面积的计算。
教学过程:
(一)提出问题
首先创设这样一个问题情境:某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是米,请问消防队员能否进入三楼灭火?问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边,如何求第三边?” 的问题。
设计意图:这样的设计是以实际问题为切入点引入新课,反映了数学来源于实际生活,产生于人的需要,也体现了知识的发生过程,解决问题的过程也是一个“数学化”的过程,从而引出本节课探究的主题。
(二)实验验证
1、问题探究
(1边数为整数的直角三角形
类型一:等腰直角三角形。
观察下图,你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?
学生通过观察,归纳发现:
结论1:以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积。
类型二:一般的直角三角形
由结论1我们自然产生联想:一般的直角三角形是否也具有该性质呢?
观察下图,你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?
结论2:“以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积。
做一做:
(1)你能用直角三角形的边长,b,c来表示上图中正方形的面积吗?
(2)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
(3)分别以3cm,4cm为直角边作出直角三角形,并测量斜边的长度,(2)中的规律对这个三角形仍然成立吗?
结论3:直角三角形两直角边的平方和,等于斜边的平方。
设计意图:由直角三角形三边长为边的三个正方形的面积关系,发现直角三角形三边的平方关系,初步得到勾股定理的内容.同时,引导学生具体画出一个直角三角形,通过计算,进一步验证勾股定理。
2)数不为整数的直角三角形
进一步验证上面的结论,直角三角形三边为、1.
2、上面猜想的数量关系还成立吗?
设计意图:由于边数为整数直角三角形的三边的平方关系,对于一般的直角三角形是否也成立?在这里,让学生利用更细密的网格纸验证 ,进一步探讨出本节课的重点----勾股定理。通过边数为整数和不为整数两方面的分类探究,充分地让学生经历了探索勾股定理的过程,得出的结论也更具有一般性,较好的突出了重点,突破了难点。
(三)总结归纳 勾股定理:
为了让学生确信结论的正确性,引导学生在纸上任意作一个直角三角形,通过测量、计算来验证结论的正确性。这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度。然后引导学生用符号语言表示,因为将文字语言转化为数学语言是学习数学学习的一项基本能力。 三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a,b,c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么[a2+b2=c2]。
数学小史:勾股定理是我国最早发现的,中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,“勾股定理”因此而得名。(在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理)
设计意图:通过介绍勾股定理由来的历史,激发学生热爱祖国,激励学生发奋学习。
四)知识拓展 ,巩固深化
让学生解决开头的实际问题
设计意图:让学生解决开头情景中的问题,前呼后应,增强学生学数学、用数学的意识,增加学以致用的乐趣和信心。
1.情境题:
小明妈妈买了一部29in(74cm)的电视机,小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58cm长和46cm宽,他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?
设计意图:增加学生的生活常识,也体现了数学知识源于生活,并用于生活。
2.探索题:
做一个长,宽,高分别为50厘米,40厘米,30厘米的木箱,一根长为70厘米的木棒能否放入,为什么?试用今天学过的知识说明。
设计意图:提升难度,学生通过交流讨论的方式,拓展学生的思维、发展空间想象能力。
(五)课堂小结,概括要点
教师提问:
1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?
2.对这些内容你有什么体会?与同伴进行交流。
在学生自由发言的基础上,师生共同总结:
1.知识:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a,b,c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么[a2+b2=c2]。
2.思想:分类讨论、特殊―一般―特殊、形结合思想。
设计意图:鼓励学生积极大胆发言,可增进师生、生生之间的交流、互动,培养学生语言表达和交流的能力。
(六)布置作业,思维延伸
1.教科书习题。
2.思考:是不是任意的三角形的三边长都满足[a2+b2=c2]?若不是,你能探究出它们满足什么关系吗?和同学们交流。
设计意图:巩固基础知识;引发思考,强化认识勾股定理适用的条件。对于锐角三角形和钝角三角形,引导学生利用本节课的方法得出相应的结论,将本节课的研究方法延伸到课外。
勾股定理课件教案【篇3】
(一)教材地位
这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版七年级第二章第一节《探索勾股定理》第一课时,勾股定理是几何中几个重要定理之一,它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
(二)教学目标
1、知识与能力:掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些简单实际问题。
2、过程与方法:经历探索及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法,发展学生的`合情推理意识、主动探究的习惯,感受数形结合和从特殊到一般的思想。
3、情感态度与价值观: 激发学生爱国热情,让学生体验自己努力得到结论的成就感,体验数学充满探索和创造,体验数学的美感,从而了解数学,喜欢数学。
(三)教学重点
经历探索及验证勾股定理的过程,并能用它来解决一些简单的实际问题。
教学难点:用面积法(拼图法)发现勾股定理。
突出重点、突破难点的办法:发挥学生的主体作用,通过学生动手实验,让学生在实验中探索、在探索中领悟、在领悟中理解。
二、教法与学法分析学情分析:七年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力.他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法(包括割补、拼接),但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够。另外,学生普遍学习积极性较高,课堂活动参与较主动,但合作交流的能力还有待加强.教法分析:结合七年级学生和本节教材的特点,在教学中采用“问题情境————建立模型————解释应用———拓展巩固”的模式, 选择引导探索法。把教学过程转化为学生亲身观察,大胆猜想,自主探究,合作交流,归纳总结的过程。学法分析:在教师的组织引导下,学生采用自主探究合作交流的研讨式学习方式,使学生真正成为学习的主人。三、教学过程设计(一)创设情境,提出问题(1)图片欣赏勾股定理数形图1955年希腊发行美丽的勾股树20xx年国际数学的一枚纪念邮票大会会标设计意图:通过图形欣赏,感受数学美,感受勾股定理的文化价值。(2)某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来6。5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2。5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?设计意图:以实际问题为切入点引入新课,反映了数学来源于实际生活,产生于人的需要,也体现了知识的发生过程,解决问题的过程也是一个“数学化”的过程,从而引出下面的环节。(二)实验操作模型构建1、等腰直角三角形(数格子)2、一般直角三角形(割补)问题一:对于等腰直角三角形,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积有何关系?设计意图:这样做利于学生参与探索,利于培养学生的语言表达能力,体会数形结合的思想。问题二:对于一般的直角三角形,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积也有这个关系吗?(割补法是本节的难点,组织学生合作交流)设计意图:不仅有利于突破难点,而且为归纳结论打下基础,让学生的分析问题解决问题的能力在无形中得到提高。通过以上实验归纳总结勾股定理。设计意图:学生通过合作交流,归纳出勾股定理的雏形,培养学生抽象、概括的能力,同时发挥了学生的主体作用,体验了从特殊—— 一般的认知规律。(三)回归生活应用新知让学生解决开头情景中的问题,前呼后应,增强学生学数学、用数学的意识,增加学以致用的乐趣和信心。(四)知识拓展巩固深化基础题,情境题,探索题。设计意图:给出一组题目,分三个梯度,由浅入深层层练习,照顾学生的个体差异,关注学生的个性发展。知识的运用得到升华。基础题: 直角三角形的一直角边长为3,斜边为5,另一直角边长为X,你可以根据条件提出多少个数学问题?你能解决所提出的问题吗?设计意图:这道题立足于双基.通过学生自己创设情境 ,锻炼了发散思维。情境题:小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机。小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗?设计意图:增加学生的生活常识,也体现了数学源于生活,并用于生活。探索题: 做一个长,宽,高分别为50厘米,40厘米,30厘米的木箱,一根长为70厘米的木棒能否放入,为什么?试用今天学过的知识说明。设计意图:探索题的难度相对大了些,但教师利用教学模型和学生合作交流的方式,拓展学生的思维、发展空间想象能力。(五)感悟收获布置作业这节课你的收获是什么?作业:1、课本习题2.12、搜集有关勾股定理证明的资料。
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勾股定理优秀教案【篇1】
一、教材分析
(一)教材所处的地位
这节课是华师大九年制义务教育课程标准实验教科书八年级总第19章第2节探索勾股定理,勾股定理是几何中几个重要定理之一,它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
(二)根据课程标准,本课的教学目标是:
1、能说出勾股定理的内容。
2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
3、在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想,并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想,激励学生发奋学习。
(三)本课的教学重点:探索勾股定理
本课的教学难点:以直角三角形为边的正方形面积的计算。
二、教法与学法分析
教法分析:针对初二年级学生的知识结构和心理特征,本节课可选择引导探索法,由浅入深,由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索,合作交流,这种教学理念反映了时代精神,有利于提高学生的思维能力,能有效地激发学生的思维积极性,基本教学流程是:提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。
学法分析:在教师的组织引导下,采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式,让学生思考问题,获取知识,掌握方法,借此培养学生动手、动脑、动口的能力,使学生真正成为学习的主体。
三、教学过程设计
(一)数学史导入
以毕达哥拉斯发现勾股定理引入新课,不仅自然,而且反映了数学来源于实际生活,数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点,同时也体现了知识的发生过程,而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。
(二)实验操作
1、投影课本图的有关直角三角形问题,让学生计算正方形A,B,C的面积,学生可能有不同的方法,不管是通过直接数小方格的个数,还是将C划分为4个全等的等腰直角三角形来求等等,各种方法都应予于肯定,并鼓励学生用语言进行表达,引导学生发现正方形A,B,C的面积之间的数量关系,从而学生通过正方形面积之间的关系容易发现对于等腰直角三角形而言满足两直角边的平方和等于斜边的平方。这样做有利于学生参与探索,感受数学学习的过程,也有利于培养学生的语言表达能力,体会数形结合的思想。
2、接着让学生思考:如果是其它一般的直角三角形,是否也具备这一结论呢?
3、给出一个边长单位为5,12,13,这种含小数的直角三角形,让学生计算是否也满足这个结论,设计的目的是让学生体会到结论更具有一般性。
(三)归纳验证
1、归纳通过对边长为整数的等腰直角三角形到一般直角三角形再到边长含小数的直角三角形三边关系的研究,让学生用数学语言概括出一般的结论,尽管学生可能讲的不完全正确,但对于培养学生运用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的,同时发挥了学生的主体作用,也便于记忆和理解,这比教师直接教给学生一个结论要好的多。
2、验证为了让学生确信结论的正确性,引导学生在纸上任意作一个直角三角形,通过动手操作拼图来验证结论的正确性和广泛性。这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度。然后引导学生用符号语言表示,因为将文字语言转化为数学语言是学习数学学习的一项基本能力。接着教师向学生介绍“勾,股,弦”的含义、勾股定理,进行点题,并指出勾股定理只适用于直角三角形。最后向学生介绍古今中外对勾股定理的研究,对学生进行爱国主义教育和数学文化熏陶。
(四)问题解决
让学生解决生活中的实际问题,学生从中能体会到成功的喜悦。完成课本“想一想”进一步体会勾股定理在实际生活中的应用,数学是与实际生活紧密相连的。
(五)课堂小结
主要通过学生回忆本节课所学内容,从内容、应用、数学思想方法、获取新知的途径方面先进行小结,后由教师总结。
(六)布置作业
习题19.2(1—5)
有兴趣的同学可以查找另外的证明方法,写出1—2种出来
四、设计说明
1、本节课是公式课,根据学生的知识结构,我采用的教学流程是:提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分,这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程,让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
2、探索定理采用了面积法,引导学生利用实验由特殊到一般再到更一般的对直角三角形三边关系的探索和研究,得出结论。这种一般化的思想方法是认识事物规律的重要方法之一,通过教学让学生初步掌握这种方法,对于学生良好思维品质的形成有重要作用,对学生的终身发展也有一定的作用。
3、关于练习的设计,除两个实际问题和课本习题以外,还让有兴趣的同学可以查找另外的证明方法,写出1—2种出来
4、本课小结从内容,应用,数学思想方法,获取知识的途径等几个方面展开,既有知识的总结,又有方法的提炼,这样对于学生学数学、用数学的意识是有很大的裨益的。
勾股定理优秀教案【篇2】
勾股定理历史悠久,是初中数学中非常重要的一个结论,称为“几何学的基石”,在数学学习中有重要的地位。它是平面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征,学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要,也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础。因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。
二、学情分析:
八年级学生已经学习了三角形的一些基本知识;也经历过利用图形面积来探求数学公式过程。如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。本节课在学生这些原有的认知水平基础上,探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链,使学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。
但是这个年龄的孩子的思维偏重于直观。而勾股定理的探究方法虽然很多,但对于八年级的学生,如果直接让探究直角三角形三边之间的关系,学生大多会思考三边之间的一次关系,而较难想到三边之间的平方关系,可能会陷入较长时间的困惑,而且没有教师的指引可能最终都不能走到正确道路上来,为此,从特殊的等腰直角三角形入手,提出问题,课堂中,注重学生的动手操,引导学生从具体到一般,层层递进,引导学生亲历定理的产生和验证过程,作为以后相关知识的继续学习奠定良好的基础。
让学生经历勾股定理的探究过程,进一步丰富学生的数学活动经验,发展学生的推理能力,以及分析问题、解决问题的能力,同时感受勾股定理的文化价值。
三、教学目标:
1、让学生亲历“发现问题—提出问题—一解决问题”、从“特殊到一般”的过程,体会类比、转化、数形结合的数学思想和方法。
2、让学生经历实践操作、计算分析、拼图实验的过程,在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯;让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长,通过解决问题增强自信心,激发学习数学的兴趣;通过老师的介绍,感受勾股定理的文化价值。
八、 教学准备:已剪好的若干个边长为整数的直角三角形、方格纸 、几何画板课件
老师:同学们,我们在七年级已经学习过三角形的一些基本知识,我们也了解了一些特殊的三角形,你知道的特殊的三角形有哪些?
对于等腰三角形和等边三角形你知道些什么?直角三角形呢?边与边的关系呢?(课件出示)
老师提出问题,学生独立思考,同桌两人交流讨论,再由代表公布。
这是对特殊的两类三角形的回顾,从学生从原有的认知水平出发,揭示这节课产生的根源,符合学生的认知心理,也自然地引出本节课的目标。
提出问题,学生思考,该如何研究呢?测量?还是其他方法呢?
以问题串的形式,引发学生思考,测量后学生不能发现规律,进而引出研究问题的方法:可以从简单的特殊的入手。
问题1.已知Rt△ABC,∠C=90°
若 a=b=1,你能写出含c的等式吗?
若 a=b=2,你能写出含c的等式吗?
若 a=1, b=2呢?
思考:
(1)(2)的条件有什么共同点?(3)的条件与(1)(2)有什么区别?
(1)(2)的结果有什么共同点?c2=2,c2=8能让我们想起什么?
学生难以得出时,老师给予适当的提示,可以从面积入手。
学生思考,并畅所欲言。
学生不难得出平方和正方形的面积有关系,所以引导学生利用面积来探求关系。
当老师拥有完美的方法解决问题的时候,学生好奇的不仅是老师解决问题的方法,学生更加关心的是老师是如何想到这一方法的,从特殊的简单的入手,是学生容易接受的。
让学生体会到当一般性的问题不好解决时,可以先将一般问题转化为特殊问题来研究。
从学生认知基础、已有的学习经验出发,将探求边长之间的关系转化为探求面积之间的关系,让学生觉得解决今天问题的方法并不陌生,增强探索问题的信心和欲望。
问题: 如何验证以c为边长的正方形的面积是否为2 ?
你能用上述方法验证问题(2)的结论吗?
教师引导,学生观察不难得出。
类比边长为1的等腰直角三角形在网格中得出斜边的平方为2的方法,学生不难想到在方格纸中利用面积得到。
当学生在方格纸上画出这个正方形后,采用补、拼、割的办法得出。
对于问题(3),当学生在方格纸上画出这个正方形后,让学生小组讨论交流,选代表发言。学生类比前面方法,采用割或者补的办法得出。
引导学生求这个正方形面积的方法可以又多种,拓展学生的思维。
让学生在问题(1)的启发下,得出方法,自己动手实践,体会成功的喜悦,激发内驱力。
展示学生的方法:割的方法,补的方法,平移的方法,旋转的方法,(旋转的方法是正确的,但是它只适应于斜边是整数的情况,况且学生在此时还不会计算斜边的长,因此这种方法没有一般性,如果学生有提到,教师应予以解释。)肯定学生的研究成果,进而让学生进行总结,把图形进行割和补,即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化为可以利用网格线直接计算面积的图形。让学生体会数学的转化思想。
问题1.(4)若a=2,b=3.你能求c2吗?
让学生自己在方格纸上画出直角边分别为2和3的直角三角形,类比前面的方法,得出c的平方。
通过此活动锻炼了学生动手能力,体现了活动数学的思想。同时也是对割、补方法计算正方形面积做了加深理解。
问题2. 梳理上述四个问题的边长,并思考a、b、c之间有什么联系?
问题3.(1)在网格中能验证a2+b2=c2吗?
活动:在网格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形,并分别以这个直角三角形的各边为边向外做出三个正方形,求出此时三个正方形的面积。
学生活动时,教师要积极的参与到学生活动中去,其中以斜边为边向外作正方形时,另两个顶点位置的确定是这一活动的难点,教师巡视是如果有学生在这两处存在问题的话,教师就以中国象棋马走日,连续走四次所形成的线路图给学生启发。
勾股定理优秀教案【篇3】
1、知识与技能目标:探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,通过探究能够发现直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方和。
2、过程与方法目标:经历用测量和数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推理能力。
3、情感态度与价值观目标:通过本节课的学习,培养主动探究的习惯,并进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
了解勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。
首先出示:投影1(章前的图文)并介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献,结合课本第六页谈一谈我国是最早了解勾股定理的国家之一,介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示课件观察后回答:
1、观察图1—2,正方形A中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格,即B的面积为______个单位。
正方形C中有_______个小方格,即C的面积为______个单位。
2、你是怎样得出上面的结果的?
3、在学生交流回答的基础上教师进一步设问:图1—2中,A,B,C面积之间有什么关系?学生交流后得到结论:A+B=C。
提问:(1)图1—3中,A,B,C之间有什么关系?(2)从图1—2,1—3中你发现什么?
学生讨论、交流后,得出结论:以三角形两直角边为边的正方形的面积和,等于以斜边为边的正方形面积。
图1—2、1—3中,你能用三角形的边长表示正方形的面积吗?
(1)你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗?在同学交流的基础上,共同探讨得出:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c那么。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾,较长的为股,斜边为弦,这就是勾股定理的由来。
(2)分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形,并测量斜边的长度(学生测量后回答斜边长为13)请大家想一想(2)中的规律,对这个三角形仍然成立吗?
我们常见的电视的尺寸:29英寸(74厘米)的电视机,指的是屏幕的长吗?还是指的是屏幕的宽?那他指什么呢?能否运用刚才所学的知识,检验一下电视剧的尺寸是否合格?
三、巩固练习。
1、在图1—1的问题中,折断之前旗杆有多高?
=25即:c=5辨析:(1)要用勾股定理解题,首先应具备直角三角形这个必不可少的条件,可本题三角形ABC并未说明它是否是直角三角形,所以用勾股定理就没有依据。(2)若告诉△ABC是直角三角形,第三边C也不一定是满足,题目中并未交待C是斜边。
鼓励学生自己总结、谈谈自己本节课的收获,以及自己对勾股定理的理解,老师加以纠正和补充。
勾股定理优秀教案【篇4】
本节课设计力求让学生参与知识的发现过程,体现以学生为主体,以促进学生发展为本的教学理念,变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体,直观教具演示,营造一个声像同步,能动能静的教学情境,给学生提供一个探索的空间,促使学生主动参与,亲身体验勾股定理的探索证明过程,从而锻炼思维、激发创造,优化课堂教学。努力做到有传统的教学课堂像实验课堂转变,使学生真正成为学习的主人,培养了学生的素质能力,达到了良好的教学效果。
课前首先让学生阅读赵爽的弦图相关知识让他们体会中国古代科学的发达。在课堂上紧密结合前面已学的知识进行导入。如提出问题:你见过这个图案吗?你听说过勾股定理吗?你还记得三角形的三边遵循什么规律吗?等等一系列的问题激起学生学生的热情和求知欲,然后顺利进入探究。本节我们就来学习一下直角三角形的三条边除具备前面的性质外还有什么新的特征。
①初步感知定理:这一环节我选择了教材的图片,讲述毕达哥拉斯到朋友家做客时发现用砖铺成的地面,其中含有直角三角形三边的数量关系,创设感知情境,提出问题,现在请同学观察,看看有什么发现?(学案出示)使问题更形象、具体。
②提出猜想:在活动1的基础上,学生已发现一些规律,进一步通过活动2进行看一看、填一填、想一想、议一议、做一做,让学生感受不只是等腰直角三角形才具有这样的性质,学生再由浅到深,由特殊到一般的提出问题,启发学生得出猜想,直角三角形的两直角边的平分和等于斜边的平方。
③证明猜想:是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢?这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明:通过活动3我充分引导学生利用直观教具,进行拼图实验,在动手操中放手让学生思考、讨论、合作、交流、探究问题的多种方法。,并对学生的做法给予表扬,使学生在学习过程中,感受到自我创造的快乐,从而分散了教学难点,发现了利用面积相等去证明勾股定理的方法。
④总结定理:让学生自己总结,不完善之处由教师补充,在前面探究活动的基础上,学生容易得出直角三角形的三边数量关系即勾股定理。
学生对所学的知识是否掌握了,达到了什么程度?为了检测学生对本课的达成情况和加强对学生能力的培养,我设计了一组坡有难度的练习题。
本节课你有哪些收获?你最感兴趣的地方是什么?你想进一步研究的问题是什么?……
通过小结,使学生进一步明确掌握教学目标,使知识成为体系。
让学生收集有关勾股定理的证明方法,下节课展示、交流。使本节知识得到拓展、延伸,培养了学生能力和思维的深刻性,让学生感受数学深厚的文化底蕴。
勾股定理优秀教案【篇5】
1、勾股定理
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方.
因此,在运用勾股定理计算三角形的边长时,要注意如下三点:
(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形;
(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错;
(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边,可求第三边长.即c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2.
2.学会用拼图法验证勾股定理
拼图法验证勾股定理的基本思想是:借助于图形的面积来验证,依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理.
如,利用四个如图1所示的直角三角形三角形,拼出如图2所示的三个图形.
请读者证明.
如上图示,在图(1)中,利用图1边长为a,b,c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形,则图2(1)中的小正方形的边长为(b-a),面积为(b-a)2,四个直角三角形的面积为4×ab=2ab.
由图(1)可知,大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的的面积,即c2=(b-a)2+2ab,则a2+b2=c2问题得证.
请同学们自己证明图(2)、(3).
3.在数轴上表示无理数
将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中一条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.
二、典例精析
例1如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm,那么这个直角三角形的面积是cm2.
分析:欲求直角三角形的面积,已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长,则求得另一直角边的长即可.根据勾股定理公式的变形,可求得.
解:由勾股定理,得
132-52=144,所以另一条直角边的长为12.
所以这个直角三角形的面积是×12×5=30(cm2).
例2如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到
顶点B,则它走过的最短路程为()
A.B.C.3aD.分析:本题显然与例2属同种类型,思路相同.但正方体的
各棱长相等,因此只有一种展开图.
解:将正方体侧面展开
正弦定理优秀教案(精选3篇)
作为老师的任务写教案课件是少不了的,要是还没写的话就要注意了。教案是教师课堂管理的重要工具。本文将带您从多个角度来考察“正弦定理优秀教案”,请大家把这篇文章分享给身边需要的人让他们也能受益!
正弦定理优秀教案 篇1
一、教学目标:
1.知识与技能:通过创设问题情境,引导学生发现正弦定理,并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
2.过程与方法:引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角正弦的比值之间的关系,培养学生通过观察,猜想,由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生
之间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,激发学生学习的兴趣。
二、教学重点与难点:
1.重点:正弦定理的探索发现及其初步应用。
2.难点:
①正弦定理的证明;
②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时,解的情况不唯一。
三、教学过程:
㈠ 创设情境:
宁静的夜晚,明月高悬,当你仰望夜空,欣赏这美好夜色的时候,会不会想要知道:那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢?1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为385400km,你们想知道他们当时是怎样测出这个距离的吗?
学习了本章《解三角形》的内容之后,这个问题就会迎刃而解。
㈡ 新课学习:
⒈提出问题:我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢?
⒉解决问题:
回忆直角三角形中的边角关系:
根据正弦函数的定义有:
,sinC=1。
经过学生思考、交流、讨论得出:
,
问题1:这个结论在任意三角形中还成立吗?
(引导学生首先分为两种情况,锐角三角形和钝角三角形,然后按照化未知为已知的思路,构造直角三角形完成证明。)
①当
ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据锐角三角函数的定义,有
,
。由此,得
,同理可得
,故有
.
从而这个结论在锐角三角形中成立.
②当
ABC是钝角三角形时,过点C作AB边上的高,交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义,有
,
。由此,得
,同理可得
故有
. 由①②可知,在
ABC中,
成立. 从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即
.
这就是我们今天要研究的――
1.1.1 正弦定理
思考:你还有其它方法证明正弦定理吗?
接着给出解三角形的概念:一般地,把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.
问题2:你能否从方程的角度分析一下,解三角形需要已知三角形中的几个元素?
问题 3:我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢?
(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角。
(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角。
3. 应用定理:
例1.
例2.
问题4:你发现运用正弦定理解决的这两类问题的解的情况有什么不同吗?
㈢ 课堂小结:学生发言,互相补充,老师评价.
㈣ 布置作业:
1.思考:已知两边和其中一边的对角,解三角形时,解的情况可能有几种?试
从理论上说明.
2.P10.习题1.1.A组:1.2.
[人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计]
正弦定理优秀教案 篇2
教学过程:(一)创设问题情景
课前放映一些有关军事题材的图片,并在课首给出引例:一天,我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务,突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究,决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时,问怎样确定发射角度可击中敌舰?
[设计一个学生比较感兴趣的实际问题,吸引学生注意力,使其立刻进入到研究者的角色中来!]
(二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。
用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中,抽象出一个解三角形问题:
1、考察角A的范围,回忆“大边对大角”的性质
2、让学生猜测角A的准确角度,由AC=2BC,从而B=2A
从而抽象出一个雏形:
3、测量角A的实际角度,与猜测有误差,从而产生矛盾:
定性研究如何转化为定量研究?
4、进一步修正雏形中的公式,启发学生大胆想象:以及等
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。
提出问题:
1、如何对以上等式进行检验呢?激发学生思维,从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究,筛选出能成立的等式。
2、那这一结论对任意三角形都适用吗?指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。
3、让学生总结实验结果,得出猜想:
在三角形中,角与所对的边满足关系
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路!]
(四)让学生进行各种尝试,探寻理论证明的方法。
提出问题:
1、如何把猜想变成定理呢?使学生注意到猜想和定理的区别,强化学生思维的严密性。
2、怎样进行理论证明呢?培养学生的转化思想,通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。
3、你能找出它们的比值吗?借以检验学生是否掌握了以上的研究思路。用几何画板动画演示,找到比值,突破难点。
4、将猜想变为定理,并用以解决课首提出的问题,并进行适当的思想教育。
[学生成为发现者,成为创造者!让学生享受成功的喜悦!]
(五)反思总结,布置作业
1、正弦定理具有对称和谐美
2、“类比→实验→猜想→证明”是一种常用的研究问题的思路和方法
课下思考:三角形中还有其它的边角定量关系吗?
六、板书设计:
正弦定理
问题:大边对大角→边角准确的量化关系?
研究思路:特例→类比→实验→猜想→证明
结论:在△ABC中,边与所对角满足关系:
七、课后反思
本节课授课对象为实验班的学生,学习基础较好。同时,考虑到这是一节探究课,授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下,在教师预设的思路中,一步步发现了定理并证明了定理,感受到了创造的快乐,激发了学习数学的兴趣。
(一)、通过创设教学情境,激活了学生思维。从认知的角度看,情境可视为一种信息载体,一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点:
1.从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出:学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看,青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此,本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征,利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料,精心设计教学情境,使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中,逐步形成创新意识。
2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”,本节课数学情境的设计处处以问题为导向:“怎样调整发射角度呢?”、“我们的工作该怎样进行呢?”、“我们的‘根据地’是什么?”、“对任意三角形都成立吗?”……促使学生去思考问题,去发现问题。
(二)、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”,新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作,再到证明方法的发现,都对教材作了一定的调整和拓展,使其更符合学生的思维习惯和认知水平,使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维,发展了学生的能力。
(三)数学实验走进了课堂,这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学生成功的快乐;这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。
一些遗憾:由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入,有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中,主动探究意识不强,思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入,这种状况会逐步改善。
一些感悟:轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地,是合作交流、探索创新的主阵地,是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台!
正弦定理优秀教案 篇3
数学《余弦定理》教案
教学设计
整体设计
教学分析
对余弦定理的探究,教材是从直角三角形入手,通过向量知识给予证明的.一是进一步加深学生对向量工具性的认识,二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处,感受向量法在解决问题中的威力.课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法,推出余弦定理后,可让学生用自己的语言叙述出来,并让学生结合余弦函数的性质明确:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推广.还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、化简的目的.
应用余弦定理及其另一种形式,并结合正弦定理,可以解决以下问题:(1)已知两边和它们的夹角解三角形;(2)已知三角形的三边解三角形.在已知两边及其夹角解三角形时,可以用余弦定理求出第三条边,这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题.在已知三边和一个角的情况下,求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式,也可以用正弦定理.用余弦定理的另一种形式,可以(根据角的余弦值)直接判断角是锐角还是钝角,但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单,但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小.
根据教材特点,本内容安排2课时.一节重在余弦定理的推导及简单应用,一节重在解三角形中两个定理的综合应用.
三维目标
1.通过对余弦定理的探究与证明,掌握余弦定理的另一种形式及其应用;了解余弦定理与勾股定理之间的联系;知道解三角形问 题的几种情形.
2.通过对三角形边角关系的探索,提高数学语言的表达能力,并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,加深对数学具有广泛应用的认识;同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换,认识数学中的对称美、简洁美、统一美.
3.加深对数学思想的认识,本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想;这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识,具有普遍的指导意义,它是我们学习数学的重要组成部分,有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握.
重点难点
教学重点:掌握余弦定理;理解余弦定理的推导及其另一种形式,并能应用它们解三角形.
教学难点:余弦定理的证明及其基本应用以及结合正弦定理解三角形.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中,从直角三角形的特殊情形入手,发现了正弦定理.现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手,然后将锐角三角形转化为直角三角形,再适当运用勾股定理进行探索,这种导入比较自然流畅,易于学生接受.
思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判断方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形,能否把这个边角关系准确量化出来呢?也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢?根据我们掌握的数学方法,比如说向量法,坐标法,三角法,几何法等,类比正弦定理的证明,你能推导出余弦定理吗?
推进新课
新知探究
提出问题
1通过对任意三角形中大边对大角,小边对小角的边角量化,我们发现了正弦定理,解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢?
2能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢?
3余弦定理的内容是什么?你能用文字语言叙述它吗?余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近?
4余弦定理的另一种表达形式是什么?
5余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解?
6正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别?
活动:根据学生的认知特点,结合课件“余弦定理猜想与验证”,教师引导学生仍从特殊情形入手,通过观察、猜想、证明而推广到一般.
如下图,在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面,我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.
如下图,在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,试根据b、c、∠A来表示a.
教师引导学生进行探究.由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题,所以应添加辅助线构成直角三角形.在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD垂直于AB于点D,那么在Rt△BDC中,边a可利用勾股定理通过CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB,AD表示,进而在Rt△ADC内求解.探究过程如下:
过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理,得
a2=CD2+BD2.
∵在Rt△ADC中,CD2=b2-AD2,
又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c•AD+AD2,
∴a2=b2-AD2+c2-2c•AD+AD2=b2+c2-2c•AD.
又∵在Rt△ADC中,AD=b•cosA,
∴a2=b2+c2-2bccosA.
类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB.
c2=a2+b2-2abcosC.
另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时,a2+b2=c2也符合上述结论.
这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理.下面类比正弦定理的证明,用向量的方法探究余弦定理,进一步体会向量知识的工具性作用.
教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的,又涉及边长问题,学生很容易想到向量的数量积的定义式:a•b=|a||b|cosθ,其中θ为a,b的夹角.
用向量法探究余弦定理的具体过程如下:
如下图,设CB→=a,CA→=b,AB→=c,那么c=a-b,
|c|2=c•c=(a-b)•(a-b)
=a•a+b•b-2a•b
=a2+b2-2abcosC.
所以c2=a2+b2-2abcosC.
同理可以证明a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB.
这个定理用坐标法证明也比较容易,为了拓展学生的思路,教师可引导学生用坐标法证明,过程如下:
如下图,以C为原点,边CB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设点B的坐标为(a,0),点A的坐标为(bcosC,bsinC),根据两点间距离公式
AB=bcosC-a2+bsinC-02,
∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C,
整理,得c2=a2+b2-2abcosC.
同理可以证明:a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB.
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即
a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三 角形的三边和一个角,知道其中的三个量,就可以求得第四个量.从而由三角形的三边可确定三角形的三个角,得到余弦定理的另一种形式:
cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab
教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征,发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近,让学生比较并讨论它们之间的关系.学生容易看出,若△ABC中,C=90°,则cosC=0,这时余弦定理变为c2=a2+b2.由此可知,余弦定理是勾股定理的推广;勾股定理是余弦定理的特例.另外,从余弦定理和余弦函 数的性质可知,在一个三角形中,如果两边的平方和 等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从以上可知,余弦定理可以看作是勾股定理的推广.
应用余弦定理,可以解决以下两类有关解三角形的问题:
①已知三角形的三边解三角形,这类问题是三边确定,故三角也确定,有解;
②已知两边和它们的夹角解三角形,这类问题是第三边确定,因而其他两个角也确定,故解.不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题.
把正弦定理和余弦定理结合起来应用,能很好地解决解三角形的问题.教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现:如果已知的是三角形的三边和一个角的情况,而求另两角中的某个角时,既可以用余弦定理也可以用正弦定理,那么这两种方法哪个会更好些呢?教师与学生一起探究得到:若用余弦定理的另一种形式,可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角,但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单,但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小,所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角.教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧.
讨论结果:
(1)、(2)、(3)、(6)见活动.
(4)余弦定理的另一种表达形式是:
cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab
(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题:
一类是已知三角形三边,另一类是已知三角形两边及其夹角.
应用示例
例1如图,在△ABC中,已知a=5,b=4,∠C=120°,求c.
活动:本例是利用余弦定理解决的第二类问题,可让学生独立完成.
解:由余弦定理,得
c2=a2+b2-2abcos120°,
因此c=52+42-2×5×4×-12=61.
例2如图,在△ABC中,已知a=3,b=2,c=19,求此三角形各个角的大小及其面积.(精确到0.1)
活动:本例中已知三角形三边,可利用余弦定理先求出边所对的角,然后利用正弦定理再求出另一角,进而求得第三角.教材中 这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理.实际教学时可让学生自己探求解题思路,比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角,或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角,这些教师都要给予鼓励,然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣,从而深刻理解两个定理的.
解:由余弦定理,得
cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-1922×3×2=9+4-1912=-12,
因此∠BCA=120°,
再由正弦定理,得
sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0,
因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合题意,舍去).
因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.
设BC边上的高为AD,则
AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.
所以△ABC的面积≈12×3×1.73≈2.6.
点评:在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时,体会两种方法存在的差异.当所求的 角是钝角时,用余弦定理可以立即判定所求的角,但用正弦定理则不能直接判定.
变式训练
在△ABC中,已知a=14,b=20,c=12,求A、B和C.(精确到1°)
解:∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0,
∴A≈44°.
∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1,
∴C≈36°.
∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.
例3如图,△ABC的顶点为A(6,5),B(-2,8)和C(4,1),求∠A.(精确到0.1°)
活动:本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的,点拨学生利用两点间距离公式先求出三边,然后利用余弦定理求出∠A.可由学生自己解决,教师给予适当的指导.
解:根据两点间距离公式,得
AB=[6--2]2+5-82=73,
BC=-2-42+8-12=85,
AC=6-42+5-12=25.
在△ABC中,由余弦定理,得
cosA=AB2+AC2-BC22AB•AC=2365≈0.104 7,
因此∠A≈84.0°.
点评:三角形三边的长作为中间过程,不必算出精确数值.
变式训练
用向量的数量积运算重做本例.
解:如例3题图,AB→=(-8,3),AC→=(-2,-4),
∴|AB→|=73,|AC→|=20.
∴cosA=AB→•AC→|AB→||AC→|
=-8×-2+3×-473×20
=2365≈0.104 7.
因此∠A≈84.0°.
例4在△ABC中,已知a=8,b=7,B=60°,求c及S△ABC.
活动:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边c,而三角形面积由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c,可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于c的方程,亦能达到求c的目的.
解法一:由正弦定理,得8sinA=7sin60°,
∴A1=81.8°,A2=98.2°.
∴C1=38.2°,C2=21.8°.
由7sin60°=csinC,得c1=3,c2=5,
∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.
解法二:由余弦定理,得b2=c2+a2-2cacosB,
∴72=c2+82-2×8×ccos60°.
整理,得c2-8c+15=0,
解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.
点评:在解法一的思路里,应注意用正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法,即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之.
变式训练
在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C=60°.
(1)若△ABC的面积等于3,求a,b;
(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积.
解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-2abcos60°=c2,即a2+b2-ab=4,
又因为△ABC的面积等于3,所以12absinC=3,ab=4.
联立方程组a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.
(2)由正弦定理及已知条件,得b=2a,
联立方程组a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433.
所以△ABC的面积S=12absinC=233.
知能训练
1.在△ABC中,已知C=120°,两边a与b是方程x2-3x+2=0的两根,则c的值为…
( )
A.3 B.7 C.3 D.7
2.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1,2x+1(x>1),求三角形的角.
答案:
1.D 解析:由题意,知a+b=3,ab=2.
在△ABC中,由余弦定理,知
c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab
=(a+b)2-ab
=7,
∴c=7.
2.解:比较得知,x2+x+1为三角形的边,设其对角为A.
由余弦定理,得
cosA=x2-12+2x+12-x2+x+122x2-12x+1
=-12.
∵0
即三角形的角为120°.
课堂小结
1.教师先让学生回顾本节课的探究过程,然后再让学生用文字语言叙述余弦定理,准确理解其实质,并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题.
2.教师指出:从方程的观点来分析,余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量,知道其中三个量,便可求得第四个量.要通过课下作业,从方程的角度进行各种变形,达到辨明余弦定理作用的目的.
3.思考本节学到的探究方法,定性发现→定量探讨→得到定理.
作业
课本习题1—1A组4、5、6;习题1—1B组1~5.
设计感想
本教案的设计充分体现了“民主教学思想”,教师不主观、不武断、不包办,让学生充分发现问题,合作探究,使学生真正成为学习的主体,力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果.这样能够不同程度地开发学生的潜能,且使教学内容得以巩固和延伸.“发现法”是常用的一种教学方法,本教案设计是从直角三角形出发,以归纳——猜想——证明——应用为线索,用恰当的问题通过启发和点拨,使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来,而展现的过程合情合理,自然流畅,学生的主体地位得到了充分的发挥.
纵观本教案设计流程,引入自然,学生探究到位,体现新课程理念,能较好地完成三维目标,课程内容及重点难点也把握得恰到好处.环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识,使学生的探究欲望及精神状态始终处于状态.在整个教案设计中学生的思维活动量大,这是贯穿整个教案始终的一条主线,也应是实际课堂教学中的一条主线.
备课资料
一、与解三角形有关的几个问题
1.向量方法证明三角形中的射影定理
如图,在△ABC中,设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.
∵AC→+CB→=AB→,
∴AC→•(AC→+CB→)=AC→•AB→.
∴AC→•AC→+AC→•CB→=AC→•AB→.
∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.
∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.
∴b-acosC=ccosA,
即b=ccosA+acosC.
同理,得a=bcosC+ccosB,c=bcosA+acosB.
上述三式称为三角形中的射影定理.
2.解斜三角形题型分析
正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:
(1)已知两角及其中一个角的对边,如A、B、a,解△ABC.
解:①根据A+B+C=π,求出角C;
②根据asinA=bsinB及asinA=csinC,求b、c.
如果已知的是两角和它们的夹边,如A、B、c,那么先求出第三角C,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.
(2)已知两边和它们的夹角,如a、b、C,解△ABC.
解:①根据c2=a2+b2-2abcosC,求出边c;
②根据cosA=b2+c2-a22bc,求出角A;
③由B=180°-A-C,求出角B.
求出第三边c后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求较小边所对的角(它一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.
(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a、b、A,解△ABC.
解:①asinA=bsinB,经过讨论求出B;
②求出B后,由A+B+C=180°,求出角C;
③再根据asinA=csinC,求出边c.
(4)已知三边a、b、c,解△ABC.
解:一般应用余弦定理求出两角后,再由A+B+C=180°,求出第三个角.
另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.
(5)已知三角,解△ABC.
解:满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不.
3.“可解三角形”与“需解三角形”
解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具.但在具体解题时,有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手.至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数,这既延长了思考时间,更影响了解题的速度和质量.但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念,则情形就不一样了.
所谓“可解三角形”,是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形;而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素,并确定解的情况.
“可解三角形”和“需解三角形”的引入,能缩短求解斜三角形问 题的思考时间.一题到手后,先做什么,再做什么,心里便有了底.分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘,去探究.
二、备用习题
1.△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,a=6,cosA=78,则△ABC的面积S为( )
A.152 B.15 C.2 D.3
2.已知一个三角形的三边为a、b和a2+b2+ab,则这个三角形的角是( )
A.75° B.90° C.120° D.150°
3.已知锐角三角形的两边长为2和3,那么第三边长x的取值范围是( )
A.(1,5) B.(1,5) C.(5,5) D.(5,13)
4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
5.(1)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知a=3,b=3,C=30°,则A=__________.
(2)在△ABC中,三个角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为__________.
6.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且sinC=2sinBcosA,试判断△ABC的形状.
7.在△ABC中,设三角形面积为S,若S=a2-(b -c)2,求tanA2的值.
参考答案:
1.A 解析:由b2-bc-2c2=0,即(b+c)(b-2c)=0,得b=2c;①
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即6=b2+c2-74bc.②
解①②,得b=4,c=2.
由cosA=78,得sinA=158,
∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.
2.C 解析:设角为θ,由余弦定理,得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ,
∴cosθ=-12.∴θ=120°.
3.D 解析:若x为边,由余弦定理,知4+9-x22×2×3>0,即x2
若x为最小边,则由余弦定理知4+x2-9>0,即x2>5,
∴x>5.综上,知x的取值范围是5
4.A 解析:设直角三角形的三边为a,b,c,其中c为斜边,增加长度为x.
则c+x为新三角形的最长边.设其所对的角为θ,由余弦定理知,
cosθ=a+x2+b+x2-c+x22a+xb+x=2a+b-cx+x22a+xb+x>0.
∴θ为锐角,即新三角形为锐角三角形.
5.(1)30° (2)612 解析:(1)∵a=3,b=3,C=30°,由余弦定理,有
c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3,
∴a=c,则A=C=30°.
(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22
=a2+b2+c22=32+42+622=612.
6.解:由正弦定理,得sinCsinB=cb,
由sinC=2sinBcosA,得cosA=sinC2sinB=c2b,
又根据余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc,
故c2b=b2+c2-a22bc,即c2=b2+c2-a2.
于是,得b2=a2,故b=a.
又因为(a +b+c)(a+b-c)=3ab,
故(a+b)2-c2=3ab.由a=b,得4b2-c2=3b2,
所以b2=c2,即b=c.故a=b=c.
因此△ABC为正三角形.
7.解:S=a2-(b-c)2,又S=12bcsinA,
∴12bcsinA=a2-(b-c)2,
有14sinA=-b2+c2-a22bc+1,
即14•2sinA2•cosA2=1-cosA.
∴12•sinA2•cosA2=2sin2A2.
∵sinA2≠0,故12cosA2=2 sinA2,∴tanA2=14.
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及表达式,回顾上两节课所解决的解三角形问题,那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识我们会探究出什么样的解题规律呢?由此展开新课.
思路2.(问题导入)我们在应用正弦定理解三角形时,已知三角形的两边及其一边的对角往往得出不同情形的解,有时有一解,有时有两解,有时又无解,这究竟是怎么回事呢?本节课我们从一般情形入手,结合图形对这一问题进行进一步的探究,由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆正弦定理、余弦定理及其另一种形式的表达式,并用文字语言叙述其内容.能写出定理的哪些变式?
2正、余弦定理各适合解决哪类解三角形问题?
3解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些?
4为什么有时解三角形会出现矛盾,即无解呢?比如:,①已知在△ABC中,a=22 cm,b=25 cm,A=135°,解三角形;,②已知三条边分别是3 cm,4 cm,7 cm,解三角形.
活动:结合课件、幻灯片等,教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么?各式中有几个量?有什么作用?用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述),让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等.可让学生填写下表中的相关内容:
解斜三角形时可
用的定理和公式 适用类型 备注
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三边
(2)已知两边及其夹角
类型(1)(2)有解时只有一解
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
(3)已知两角和一边
(4)已知两边及其中一边的对角 类型(3)在有解时只有一解,类型(4)可有两解、一解或无解
三角形面积公式
S=12bcsinA
=12acsinB
=12absinC
(5)已知两边及其夹角
对于正弦定理,教师引导学生写出其变式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,利用幻灯片更能直观地看出解三角形时的边角互化.对于余弦定理,教师要引导学生写出其变式(然后教师打出幻灯片):∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A
以上内容的复习回顾如不加以整理,学生将有杂乱无章、无规碰撞之感,觉得好像更难以把握了,要的就是这个效果,在看似学生乱提乱问乱说乱写的时候,教师适时地打出幻灯片(1张),立即收到耳目一新,主线立现、心中明朗的感觉,幻灯片除以上2张外,还有:
asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.
出示幻灯片后,必要时教师可根据学生的实际情况略作点评.
与学生一起讨论解三角形有时会出现无解的情况.如问题(4)中的①会出现如下解法:
根据正弦定理,sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.
∵0°
于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.
到这里我们发现解三角形竟然解出负角来,显然是错误的.问题出在哪里呢?在检验以上计算无误的前提下,教师引导学生分析已知条件.由a=22 cm,b=25 cm,这里a
讨论结果:
(1)、(3)、(4)略.
(2)利用正弦定理和余弦定理可解决以下四类解三角形问题:
①已知两角和任一边,求其他两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
③已知三边,求三个角.
④已知两边和夹角,求第三边和其他两角.
应用示例
例1在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,b=acosC且△ABC的边长为12,最小角的正弦值为13.
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
活动:教师与学生一起共同探究本例,通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联,引导学生观察条件b=acosC,这是本例中的关键条件.很显然,如果利用正弦定理实现边角转化,则有2RsinB=2RsinA•cosC.若利用余弦定理实现边角转化,则有b=a•a2+b2-c22ab,两种转化策略都是我们常用的.引导学生注意对于涉及三角形的三角函数变换.内角和定理A+B+C=180°非常重要,常变的角有A2+B2=π2-C2,2A+2B+2C=2π,sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),sinA2=cosB+C2,cosA2=sinB+C2等,三个内角的大小范围都不能超出(0°,180°).
解:(1)方法一:∵b=acosC,
∴由正弦定理,得sinB=sinA•cosC.
又∵sinB=sin(A+C),∴sin(A+C)=sinA•cosC,
即cosA•sinC=0.
又∵A、C∈(0,π),∴cosA=0,即A=π2.
∴△ABC是A=90°的直角三角形.
方法二:∵b=acosC,
∴由余弦定理,得b=a•a2+b2-c22ab,
2b2=a2+b2-c2,即a2=b2+c2.
由勾股定理逆定理,知△ABC是A=90°的直角三角形.
(2)∵△ABC的边长为12,由(1)知斜边a=12.
又∵△ABC最小角的正弦值为13,
∴Rt△ABC的最短直角边长为12×13=4.
另一条直角边长为122-42=82,
∴S△ABC=12×4×82=162.
点评:以三角形为载体,以三角变换为核心,结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向.因此要特别关注三角函数在解三角形中的灵活运用,及正、余弦定理的灵活运用.
变式训练
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且cosA=45.
(1)求sin2B+C2+cos2A的值;
(2)若b=2,△ABC的面积S=3,求a.
解:(1)sin2B+C2+cos2A=1-cosB+C2+cos2A
=1+cosA2+2cos2A-1=5950.
(2)∵cosA=45,∴sinA=35.
由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35,解得c=5.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得a2=4+25-2×2×5×45=13,
∴a=13.
例2已知a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若a=7,c=5,∠A=120°,求边长b及△ABC外接圆半径R.
活动:教师引导学生观察已知条件,有边有角,可由余弦定理先求出边b,然后利用正弦定理再求其他.点拨学生注意体会边角的互化,以及正弦定理和余弦定理各自的作用.
解:由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA,即b2+52-2×5×bcos120°=49,
∴b2+5b-24=0.
解得b=3.(负值舍去).
由正弦定理:asinA=2R,即7sin120°=2R,解得R=733.
∴△ABC中,b=3,R=733.
点评:本题直接利用余弦定理,借助方程思想求解边b,让学生体会这种解题方法,并探究其他的解题思路.
变式训练
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2+c2=a2+3bc,求:
(1)A的大小;
(2)2sinB•cosC-sin(B-C)的值.
解:(1)由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,
∴∠A=30°.
(2)2sinBcosC-sin(B-C)
=2sinBcosC-(sinB•cosC-cosBsinC)
=sinBcosC+cosBsinC
=sin(B+C)
=sinA
=12.
例3如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠BCD=75°,∠ACB=∠BDC=45°,DC=3,求:
(1)AB的长;
(2)四边形ABCD的面积.
活动:本例是正弦定理、余弦定理的灵活应用,结合三角形面积求解,难度不大,可让学生自己独立解决,体会正、余弦定理结合三角形面积的综合应用.
解:(1)因为∠BCD=75°,∠ACB=45°,所以∠ACD=30°.
又因为∠BDC=45°,
所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.
在△BCD中,∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°,
所以BDsin75°=DCsin60°,BD =3sin75°sin60°=6+22.
在△ABD中,AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5,所以AB=5.
(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.
同理, S△BCD=3+34.
所以四边形ABCD的面积S=6+334.
点评:本例解答对运算能力提出了较高要求,教师应要求学生“列式工整、算法简洁、运算正确”,养成规范答题的良好习惯.
变式训练
如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.
(1)求cos∠CBE的值;
(2)求AE.
解:(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,
CB=AC=CD,
所以∠CBE=15°.
所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.
(2)在△ABE中,AB=2,
由正弦定理,得AEsin45°-15°=2sin90°+15°,
故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.
例4在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
活动:此题所证结论包含关于△ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如sin2B=2sinBcosB等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证法一: (化为三角函数)
a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2•2sinB•cosB+(2RsinB)2•2sinA•cosA=8R2sinA•sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=2absinC.
所以原式得证.
证法二: (化为边的等式)
左边=a2•2sinBcosB+b2•2sinAcosA=a2•2b2R•a2+c2-b22ac+b2•2a2R•b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc•2c2=2ab•c2R=2absinC.
点评:由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA•cosA,正弦两角和公式sin(A+B)=sinA•cosB+cosA•sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.
变 式训练
在△ABC中,求证:
(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;
(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).
证明:(1)根据正弦定理,可设
asinA=bsinB= csinC= k,
显然 k≠0,所以
左边=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右边.
(2)根据余弦定理,得
右边=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
=a2+b2+c2=左边.
知能训练
1.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c.若△ABC的面积S=c2-(a-b)2,则tanC2等于( )
A.12 B.14 C.18 D.1
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足4sin2A+C2-cos2B=72.
(1)求角B的度数;
(2)若b=3,a+c=3,且a>c,求a、c的值.
答案:
1.B 解析:由余弦定理及面积公式,得
S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC,
∴1-cosCsinC=14.
∴tanC2=1-cosCsinC=14.
2.解:(1)由题意,知4cos2B-4cosB+1=0,∴cosB=12.
∵0
(2)由余弦定理,知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac,
∴ac=2.①
又∵a+c=3,②
解①②联立的方程组,得a=2,c=1或a=1,c=2.
∵a>c,∴a=2,c=1.
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课我们共同探究的解三角形问题,特别是已知两边及其一边的对角时解的情况,通过例题及变式训练,掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题.学到了具体问题具体分析的良好思维习惯.
教师进一步点出,解三角形问题是确定线段 的长度和角度的大小,解三角形需要利用边角关系,三角形中,有六个元素:三条边、三个角;解三角形通常是给出三个独立的条件(元素),求出其他的元素,如果是特殊的三角形,如直角三角形,两个条件(元素)就够了.正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理,正弦定理适用于已知两角一边,求其他要素;余弦定理适用于已知两边和夹角,或者已知三边求其他要素.
作业
课本本节习题1—1B组6、7.
补充作业
1.在△ABC中,若tanAtanB=a2b2,试判断△ABC的形状.
2.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,A=60°,B>C,b、c是方程x2-23x+m=0的两个实数根,△ABC的面积为32,求△ABC的三边长.
解答:1.由tanAtanB=a2b2,得sinA•cosBcosA•sinB=a2b2,
由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,
∴sinA•cosBcosA•sinB=4R2sin2A4R2sin2B.
∴sinA•cosA=sinB•cosB,
即sin2A=sin2B.
∴A+B=90°或A=B,
即△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2.由韦达定理,得bc=m,S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32,
∴m=2.
则原方程变为x2-23x+2=0,
解得两根为x=3±1.
又B>C,∴b>c.
故b=3+1,c=3-1.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6,得a=6.
∴所求三角形的三边长分别为a=6,b=3+1,c=3-1.
设计感想
本教案设计的思路是:通过一些典型 的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法,具体解三角形时,所选例题突出了函数与方程的思想,将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组,处理已知量与未知量之间的关系.
本教案的设计注重了一题多解的训练,如例4给出了两种解法,目的是让学生对换个角度看问题有所感悟,使学生经常自觉地从一个思维过程转换到另一个思维过程,逐步培养出创新意识.换一个角度看问题,变通一下,也许会有意想不到的效果.
备课资料
一、正弦定理、余弦定理课外探究
1.正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决.
【例1】 已知a、b为△ABC的边,A、B分别是a、b的对角,且sinAsinB=32,求a+bb的值.
解:∵asinA=bsinB,∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(这是角的关系),
∴ab=32(这是边的关系).于是,由合比定理,得a+bb=3+22=52.
【例2】 已知△ABC中,三边a、b、c所对的角分别是A、B、C,且2b=a+c.
求证:sinA+sinC=2sinB.
证明:∵a+c=2b(这是边的关系),①
又asinA=bsinB=csinC,∴a=bsinAsinB,②
c=bsinCsinB.③
将②③代入①,得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理,得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).
2.正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:
【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.
解:原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°,
∵20°+10°+150°=180°,∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.
设这三个内角所对的边依次是a、b、c,由余弦定理,得a2+b2-2abcos150°=c2.(*)
而由正弦定理,知a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代入(*)式,得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.
二、备用习题
1.在△ABC中,已知a=11,b=20,A=130°,则此三角形( )
A.无解 B.只有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
2.△ABC中,已知(a+c)(a-c)=b2+bc,则A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.△ABC中,若acosB=bcosA,则该三角形一定是( )
A.等腰三角形但不是直角三角形
B.直角三角形但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.△ABC中,tanA•tanB
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
5.在△ABC中,若∠B=30°,AB=23,AC=2,则△ABC的面积是__________.
6.在△ABC中,已知A=120°,b=3,c=5,求:
(1)sinBsinC;
(2)sinB+sinC.
7.在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且cos〈AB→,AC→〉=14.
(1)求sin2B+C2+cos2A的值;
(2)若a=4,b+c=6,且b
参考答案:
1.A 解析:∵a90°,因此无解.
2.C 解析:由已知,得a2-c2=b2+bc,∴b2+c2-a2=-bc.
由余弦定理,得
cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.
∴A=120°.
3.D 解析:由已知条件结合正弦定理,得
sinAcosB=sinBcosA,即sinA•cosA=sinB•cosB,
∴sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A=180°-2B,
即A=B或A+B= 90°.
因此三角形为等腰三角形或直角三角形.
4.B 解析:由已知条件,得sinAcosA•sinBcosB0,cosCcosAcosB
说明cosA,cosB,cosC中有且只有一个为负.
因此三角形为钝角三角形.
5.23或3 解析:由ACsin30°=ABsinC,知sinC=32.
若∠C=60°,则△ABC是直角三角形,S△ABC=12AB×AC=23.
若∠C=120°,则∠A=30°,S△ABC=12AC×AB•sin30°=3.
6.解法一:(1)∵b=3,c=5,A=120°,
∴由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.
由正弦定理,得sinB=bsinAa=3×327=3314,sinC=csinAa=5314,
∴sinBsinC=45196.
(2)由(1)知,sinB+sinC=8314=437.
解法二:(1)由余弦定理,得a=7,
由正弦定理a=2RsinA,得R=a2sinA=733,
∴sinB=b2R=32×733=3314,sinC=c2R=5314.
∴sinBsinC=45196.
(2)由(1)知,sinB+sinC=8314=437.
7.解:(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.
(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,
即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA
数学《余弦定理》教学反思
本节课是高中数学教材北师大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一课时内容,《课程标准》和教材把解三角形这部分内容安排在必修5,位置相对靠后,在此前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容,使得这部分知识的处理有了比较多的工具,某些内容处理的更加简洁。学数学的最终目的是应用数学,可是比较突出的是,学生应用数学的意识不强,创造能力弱,往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的知识应用到实际问题中去,尽管对一些常见数学问题解法的能力较强,但当面临一种新的问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的思维方法了解不够,针对这些情况,教学中要重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用于实际问题。
余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理,是解决有关三角形问题与实际问题(如测量等)的重要定理,它将三角形的边角有机的结合起来,实现了边与角的互化,从而使三角和几何有机的结合起来,为求与三角形有关的问题提供了理论依据。
教科书直接从三角形三边的向量出发,将向量等式转化为数量关系,得到余弦定理,言简意赅,简洁明快,但给人感觉似乎跳跃较大,不够自然,因此在创设问题情境中加了一个铺垫,即让学生想用向量方法证明勾股定理,再由特殊到一般,将直角三角形推广为任意三角形,余弦定理水到渠成,并与勾股定理统一起来,这一尝试是想回答:一个结论源自何处,是怎样想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加减法运算,其实向量的加减法的三角法则和平行四四边形法则从形上揭示了三角形的边角关系,而正弦定理与余弦定理是从数量关系上揭示了三角形的边角关系,向量的数量积则打通了三角形边角的数形联系,因此用向量方法证明正、余弦定理比较简洁,在证明余弦定理时,让学生自主探究,寻找新的证法,拓展思维,打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系,在比较各种证法后体会到向量证法的优美简洁,使知识交融、方法熟练、能力提升。
数学教学的主要目标是激发学生的潜能,教会学生思考,让学生变得聪明,学会数学的发现问题,具有创新品质,具备数学文化素养是题中之义,想一想,成人工作以后,有多少人会再用到余弦定理,但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽。数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力,让学生想学数学这门课,同时指导学生掌握数学学习的一般方法,具备终身学习的基础。教师要不断提出好的数学问题,还要教会学生提出问题,培养学生发现问题的意识和方法,并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯,在本节课中,通过余弦定理的发现过程,培养学生观察、类比、发现、推理的能力,学生在教师引导下,自主思考、探究、小组合作相互交流启发、思维碰撞,寻找不同的证明方法,既培养了学生学习数学的兴趣,同时掌握了学习概念、定理的基本方法,增强了学生的问题意识。其次,掌握正确的学习方法,没有正确的学习方法,兴趣不可能持久,概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法,学习的过程就是知其然,知其所以然、举一反三的过程,学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的范例,引导学生发现余弦定理的来龙去脉,掌握余弦定理证明方法,理解余弦定理与其他知识的密切联系,应用余弦定理解决其他问题。在余弦定理教学中,寻求一题多解,探究证明余弦定理的多种方法,指导一题多变,改变余弦定理的形式,如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式,启发学生一题多想,引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系,与勾股定理的联系、与向量的联系、与三角知识的联系以及与其他知识方法的联系,通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式,夯实了数学基础,打通了知识联系,掌握了数学的基本方法,丰富了数学基本活动经验,激发了数学创造思维和潜能。
教学中也会有很多遗憾,有许多的漏洞,在创设情境,引导学生发现推导方法、鼓励学生质疑提问、猜想等方面有很多遗憾,比如:如何引入向量,解释的不够。最后,希望各位同仁批评指正。
正弦定理课件教案5500字
老师在开学前需要把教案课件准备好,每个人都要计划自己的教案课件了。做好教案课件的前期设计,才能按质按量地达到预期教学目标,应该从什么角度去写教案课件呢?根据您的要求,编辑为您搜索整理了“正弦定理课件教案”,希望我的建议能够对你有所帮助请收藏以备查看!
正弦定理课件教案(篇1)
“解三角形”既是高中数学的基本内容,又有较强的应用性,在这次课程改革中,被保留下来,并独立成为一章。这部分内容从知识体系上看,应属于三角函数这一章,从研究方法上看,也可以归属于向量应用的一方面。从某种意义讲,这部分内容是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。而本课“正弦定理”,作为单元的起始课,是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上,通过对三角形边角关系作量化探究,发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具),通过这一部分内容的学习,让学生从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模过程中,体验 “观察――猜想――证明――应用”这一思维方法,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时在解决问题的过程中,感受数学的力量,进一步培养学生对数学的学习兴趣和“用数学”的意识。
我所任教的学校是我县一所农村普通中学,大多数学生基础薄弱,对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是,大多数学生对数学的兴趣较高,比较喜欢数学,尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容,相信学生能够积极配合,有比较不错的表现。
1、知识和技能:在创设的问题情境中,引导学生发现正弦定理的内容,推证正弦定理及简单运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。
过程与方法:学生参与解题方案的探索,尝试应用观察――猜想――证明――应用“等思想方法,寻求最佳解决方案,从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。
情感、态度、价值观:培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法,通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。同时,通过实际问题的探讨、解决,让学生体验学习成就感,增强数学学习兴趣和主动性,锻炼探究精神。树立”数学与我有关,数学是有用的,我要用数学,我能用数学“的理念。
教学重点:正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。
为了更好的达成上面的教学目标,促进学习方式的转变,本节课我准备采用”问题教学法",即由教师以问题为主线组织教学,利用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发兴趣、突出重点,突破难点,提高课堂效率,并引导学生采取自主探究与相互合作相结合的学习方式参与到问题解决的过程中去,从中体验成功与失败,从而逐步建立完善的认知结构。
为了很好地完成我所确定的教学目标,顺利地解决重点,突破难点,同时本着贴近生活、贴近学生、贴近时代的原则,我设计了这样的教学过程:
问题1:宁静的夜晚,明月高悬,当你仰望夜空,欣赏这美好夜色的时候,会不会想要知道:那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢?
1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为 385400km,你知道他们当时是怎样测出这个距离的吗?
问题2:在现在的高科技时代,要想知道某座山的高度,没必要亲自去量,只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出,你知道这是为什么吗?还有,交通警察是怎样测出正在公路上行驶的汽车的速度呢?要想解决这些问题, 其实并不难,只要你学好本章内容即可掌握其原理。(板书课题《解三角形》)
引用教材本章引言,制造知识与问题的冲突,激发学生学习本章知识的兴趣。
问题3:在初中,我们已经学习了《锐角三角函数和解直角三角形》这一章,老师想试试你的实力,请你根据初中知识,解决这样一个问题。在RtSABC中sinA= ,sinB= ,sinC= ,由此,你能把这个直角三角形中的所有的边和角用一个表达式表示出来吗?
问题4:本题属于初中问题,而且比较简单,不够刺激,现在如果我为难为难你,让你也当一回老师,如果有个学生把条件中的RtSABC不小心写成了锐角SABC,其它没有变,你说这个结论还成立吗?
此时放手让学生自己完成,如果感觉自己解决有困难,学生也可以前后桌或同桌结组研究,鼓励学生用不同的方法证明这个结论,在巡视的过程中让不同方法的学生上黑板展示,如果没有用向量的学生,教师引导提示学生能否用向量完成证明。
问题5:好根据刚才我们的研究,说明这一结论在直角三角形和锐角三角形中都成立,于是,我们是否有了更为大胆的猜想,把条件中的锐角SABC改为角钝角SABC,其它不变,这个结论仍然成立?我们光说成立不行,必须有能力进行严格的理论证明,你有这个能力吗?下面我希望你能用实力告诉我,开始。(启发引导学生用多种方法加以研究证明,尤其是向量法,在下节余弦定理的证明中还要用,因此务必启发学生用向量法完成证明。)
放手给学生实践的机会和时间,使学生真正的参与到问题解决的过程中去,让学生在学数学的实践中去感悟和提高数学的思维方法和思维习惯。同时,考虑到有部分同学基础较差,考个人或小组可能无法完成探究任务,教师在学生动手的同时,通过巡查,让提前证明出结论的同学上黑板完成,这样做一方面肯定了先完成的同学的先进性,锻炼了上黑板同学的解题过程的书写规范性,同时,也让从无从下手的'同学有个参考,不至于闲呆着浪费时间。
问题6:由此,你能否得到一个更一般的结论?你能用比较精炼的语言把它概括一下吗?好,这就是我们这节课研究的主要内容,大名鼎鼎的正弦定理(此时板书课题并用红色粉笔标示出正弦定理内容)
教师讲解:告诉大家,其实这个大名鼎鼎的正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔─威发z940―998{首先发现与证明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼z973―1048{给三角形的正弦定理作出了一个证明。也有说正弦定理的证明是13世纪的阿塞拜疆人纳速拉丁在系统整理前人成就的基础上得出的。不管怎样,我们说在10以前,人们就发现了这个充满着数学美的结论,不能不说也是人类数学史上的一个奇迹。老师希望21世纪的你能在今后的学习中也研究出一个被后人景仰的某某定理来,到那时我也就成了数学家的老师了。当然,老师的希望能否变成现实,就要看大家的了。
通过本段内容的讲解,渗透一些数学史的内容,对学生不仅有数学美得熏陶,更能激发学生学习科学文化知识的热情。
下面请大家看我们的教材2―3页到例题1上边,并自学解三角形定义。
让学生看看书,放慢节奏,有利于学生消化和吸收刚才的内容,同时教师可以利用这段时间对个别学困生进行辅导,以减少掉队的同学数量,同时培养学生养成自觉看书的好习惯。
我们学习了正弦定理之后,你觉得它有什么应用?在三角形中他能解决那些问题呢? 我们先小试牛刀,来一个简单的问题:
问题7:(教材例题1)SABC中,已知A=30?,B=75?,a=40cm,解三角形。
(本题简单,找两位同学上黑板完成,其他同学在底下练习本上完成,同学可以小声音讨论,完成后教师根据学生实践中发现的问题给予必要的讲评)
充分给学生自己动手的时间和机会,由于本题是唯一解,为将来学生感悟什么情况下三角形有唯一解创造条件。
让全体同学限时完成教材4页练习第一题,找两位同学上黑板。
问题8:(教材例题2)在SABC中a=20cm,b=28cm,A=30?,解三角形。
例题2较难,目的是使学生明确,利用正弦定理有两种可能,同时,引导学生对比例题1研究,在什么情况下解三角形有唯一解?为什么?对学有余力的同学鼓励他们自学探究与发现教材8页得内容:《解三角形的进一步讨论》
4、涉及的数学思想和方法。
师生共同总结本节课的收获的同时,引导学生学会自己总结,让学生进一步回顾和体会知识的形成、发展、完善的过程。
1、教材10页习题1、1A组第1题。
2、学有余力的同学探究10页B组第1题,体会正弦定理的其他证明方法。
证明:设三角形外接圆的半径是R,则a=2RsinA,b=2RsinB, c=2RsinC
对不同水平的学生设计不同梯度的作业,尊重学生的个性差异,有利于因材施教的教学原则的贯彻。
正弦定理课件教案(篇2)
大家好,今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。
本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的'联系与判定三角形的全等也有密切联系,在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题,而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此,正弦定理和余弦定理的知识非常重要。
根据上述教材内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平,制定如下教学目标:
认知目标:通过创设问题情境,引导学生发现正弦定理的内容,掌握正弦定理的内容及其证明方法,使学生会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题。
能力目标:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力,能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题。
情感目标:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,激发学生学习的兴趣。
教学重点:正弦定理的内容,正弦定理的证明及基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
根据教材的内容和编排的特点,为是更有效地突出重点,空破难点,以学业生的发展为本,遵照学生的认识规律,本讲遵照以教师为主导,以学生为主体,训练为主线的指导思想, 采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以生活实际为参照对象,让学生的思维由问题开始,到猜想的得出,猜想的探究,定理的推导,并逐步得到深化。
指导学生掌握“观察――猜想――证明――应用”这一思维方法,采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习,观察,类比,思考,探究,概括,动手尝试相结合,体现学生的主体地位,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,形成了实事求是的科学态度,增强了锲而不舍的求学精神。
“兴趣是最好的老师”,如果一节课有个好的开头,那就意味着成功了一半,本节课由一个实际问题引入,“工人师傅的一个三角形模型坏了,只剩下如右图所示的部分,∠A=47°,∠B=53°,AB长为1m,想修好这个零件,但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料,你能帮师傅这个忙吗?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣,从而进入今天的学习课题。
激发学生思维,从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究,发现正弦定理。 提问:那结论对任意三角形都适用吗?(让学生分小组讨论,并得出猜想)
注意:1.强调将猜想转化为定理,需要严格的理论证明。
2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。
3.提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来,继而思考向量分析层面,用数量积作为工具证明定理,体现了数形结合的数学思想。
1.正弦定理的内容,讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。
2.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决,能激发学生知识后用于实际的价值观。
1.例1. 在△ABC中,已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.
例1简单,结果为唯一解,如果已知三角形两角两角所夹的边,以及已知两角和其中一角的对边,都可利用正弦定理来解三角形。
2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.
例2较难,使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中
一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。
1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形. (1)A=45°,C=30°,c=10cm (2)A=60°,B=45°,c=20cm
2. 在△ABC中,已知下列条件,解三角形. (1)a=20cm,b=11cm,B=30° (2)c=54cm,b=39cm,C=115°
学生板演,老师巡视,及时发现问题,并解答。
1.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。
2.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发,运用分类讨论的思想。
3.会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题。
正弦定理课件教案(篇3)
数学《余弦定理》教案
教学设计
整体设计
教学分析
对余弦定理的探究,教材是从直角三角形入手,通过向量知识给予证明的.一是进一步加深学生对向量工具性的认识,二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处,感受向量法在解决问题中的威力.课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法,推出余弦定理后,可让学生用自己的语言叙述出来,并让学生结合余弦函数的性质明确:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推广.还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、化简的目的.
应用余弦定理及其另一种形式,并结合正弦定理,可以解决以下问题:(1)已知两边和它们的夹角解三角形;(2)已知三角形的三边解三角形.在已知两边及其夹角解三角形时,可以用余弦定理求出第三条边,这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题.在已知三边和一个角的情况下,求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式,也可以用正弦定理.用余弦定理的另一种形式,可以(根据角的余弦值)直接判断角是锐角还是钝角,但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单,但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小.
根据教材特点,本内容安排2课时.一节重在余弦定理的推导及简单应用,一节重在解三角形中两个定理的综合应用.
三维目标
1.通过对余弦定理的探究与证明,掌握余弦定理的另一种形式及其应用;了解余弦定理与勾股定理之间的联系;知道解三角形问 题的几种情形.
2.通过对三角形边角关系的探索,提高数学语言的表达能力,并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,加深对数学具有广泛应用的认识;同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换,认识数学中的对称美、简洁美、统一美.
3.加深对数学思想的认识,本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想;这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识,具有普遍的指导意义,它是我们学习数学的重要组成部分,有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握.
重点难点
教学重点:掌握余弦定理;理解余弦定理的推导及其另一种形式,并能应用它们解三角形.
教学难点:余弦定理的证明及其基本应用以及结合正弦定理解三角形.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中,从直角三角形的特殊情形入手,发现了正弦定理.现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手,然后将锐角三角形转化为直角三角形,再适当运用勾股定理进行探索,这种导入比较自然流畅,易于学生接受.
思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判断方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形,能否把这个边角关系准确量化出来呢?也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢?根据我们掌握的数学方法,比如说向量法,坐标法,三角法,几何法等,类比正弦定理的证明,你能推导出余弦定理吗?
推进新课
新知探究
提出问题
1通过对任意三角形中大边对大角,小边对小角的边角量化,我们发现了正弦定理,解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢?
2能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢?
3余弦定理的内容是什么?你能用文字语言叙述它吗?余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近?
4余弦定理的另一种表达形式是什么?
5余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解?
6正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别?
活动:根据学生的认知特点,结合课件“余弦定理猜想与验证”,教师引导学生仍从特殊情形入手,通过观察、猜想、证明而推广到一般.
如下图,在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面,我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.
如下图,在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,试根据b、c、∠A来表示a.
教师引导学生进行探究.由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题,所以应添加辅助线构成直角三角形.在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD垂直于AB于点D,那么在Rt△BDC中,边a可利用勾股定理通过CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB,AD表示,进而在Rt△ADC内求解.探究过程如下:
过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理,得
a2=CD2+BD2.
∵在Rt△ADC中,CD2=b2-AD2,
又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c•AD+AD2,
∴a2=b2-AD2+c2-2c•AD+AD2=b2+c2-2c•AD.
又∵在Rt△ADC中,AD=b•cosA,
∴a2=b2+c2-2bccosA.
类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB.
c2=a2+b2-2abcosC.
另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时,a2+b2=c2也符合上述结论.
这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理.下面类比正弦定理的证明,用向量的方法探究余弦定理,进一步体会向量知识的工具性作用.
教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的,又涉及边长问题,学生很容易想到向量的数量积的定义式:a•b=|a||b|cosθ,其中θ为a,b的夹角.
用向量法探究余弦定理的具体过程如下:
如下图,设CB→=a,CA→=b,AB→=c,那么c=a-b,
|c|2=c•c=(a-b)•(a-b)
=a•a+b•b-2a•b
=a2+b2-2abcosC.
所以c2=a2+b2-2abcosC.
同理可以证明a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB.
这个定理用坐标法证明也比较容易,为了拓展学生的思路,教师可引导学生用坐标法证明,过程如下:
如下图,以C为原点,边CB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设点B的坐标为(a,0),点A的坐标为(bcosC,bsinC),根据两点间距离公式
AB=bcosC-a2+bsinC-02,
∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C,
整理,得c2=a2+b2-2abcosC.
同理可以证明:a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB.
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即
a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三 角形的三边和一个角,知道其中的三个量,就可以求得第四个量.从而由三角形的三边可确定三角形的三个角,得到余弦定理的另一种形式:
cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab
教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征,发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近,让学生比较并讨论它们之间的关系.学生容易看出,若△ABC中,C=90°,则cosC=0,这时余弦定理变为c2=a2+b2.由此可知,余弦定理是勾股定理的推广;勾股定理是余弦定理的特例.另外,从余弦定理和余弦函 数的性质可知,在一个三角形中,如果两边的平方和 等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从以上可知,余弦定理可以看作是勾股定理的推广.
应用余弦定理,可以解决以下两类有关解三角形的问题:
①已知三角形的三边解三角形,这类问题是三边确定,故三角也确定,有解;
②已知两边和它们的夹角解三角形,这类问题是第三边确定,因而其他两个角也确定,故解.不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题.
把正弦定理和余弦定理结合起来应用,能很好地解决解三角形的问题.教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现:如果已知的是三角形的三边和一个角的情况,而求另两角中的某个角时,既可以用余弦定理也可以用正弦定理,那么这两种方法哪个会更好些呢?教师与学生一起探究得到:若用余弦定理的另一种形式,可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角,但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单,但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小,所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角.教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧.
讨论结果:
(1)、(2)、(3)、(6)见活动.
(4)余弦定理的另一种表达形式是:
cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab
(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题:
一类是已知三角形三边,另一类是已知三角形两边及其夹角.
应用示例
例1如图,在△ABC中,已知a=5,b=4,∠C=120°,求c.
活动:本例是利用余弦定理解决的第二类问题,可让学生独立完成.
解:由余弦定理,得
c2=a2+b2-2abcos120°,
因此c=52+42-2×5×4×-12=61.
例2如图,在△ABC中,已知a=3,b=2,c=19,求此三角形各个角的大小及其面积.(精确到0.1)
活动:本例中已知三角形三边,可利用余弦定理先求出边所对的角,然后利用正弦定理再求出另一角,进而求得第三角.教材中 这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理.实际教学时可让学生自己探求解题思路,比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角,或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角,这些教师都要给予鼓励,然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣,从而深刻理解两个定理的.
解:由余弦定理,得
cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-1922×3×2=9+4-1912=-12,
因此∠BCA=120°,
再由正弦定理,得
sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0,
因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合题意,舍去).
因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.
设BC边上的高为AD,则
AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.
所以△ABC的面积≈12×3×1.73≈2.6.
点评:在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时,体会两种方法存在的差异.当所求的 角是钝角时,用余弦定理可以立即判定所求的角,但用正弦定理则不能直接判定.
变式训练
在△ABC中,已知a=14,b=20,c=12,求A、B和C.(精确到1°)
解:∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0,
∴A≈44°.
∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1,
∴C≈36°.
∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.
例3如图,△ABC的顶点为A(6,5),B(-2,8)和C(4,1),求∠A.(精确到0.1°)
活动:本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的,点拨学生利用两点间距离公式先求出三边,然后利用余弦定理求出∠A.可由学生自己解决,教师给予适当的指导.
解:根据两点间距离公式,得
AB=[6--2]2+5-82=73,
BC=-2-42+8-12=85,
AC=6-42+5-12=25.
在△ABC中,由余弦定理,得
cosA=AB2+AC2-BC22AB•AC=2365≈0.104 7,
因此∠A≈84.0°.
点评:三角形三边的长作为中间过程,不必算出精确数值.
变式训练
用向量的数量积运算重做本例.
解:如例3题图,AB→=(-8,3),AC→=(-2,-4),
∴|AB→|=73,|AC→|=20.
∴cosA=AB→•AC→|AB→||AC→|
=-8×-2+3×-473×20
=2365≈0.104 7.
因此∠A≈84.0°.
例4在△ABC中,已知a=8,b=7,B=60°,求c及S△ABC.
活动:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边c,而三角形面积由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c,可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于c的方程,亦能达到求c的目的.
解法一:由正弦定理,得8sinA=7sin60°,
∴A1=81.8°,A2=98.2°.
∴C1=38.2°,C2=21.8°.
由7sin60°=csinC,得c1=3,c2=5,
∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.
解法二:由余弦定理,得b2=c2+a2-2cacosB,
∴72=c2+82-2×8×ccos60°.
整理,得c2-8c+15=0,
解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.
点评:在解法一的思路里,应注意用正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法,即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之.
变式训练
在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C=60°.
(1)若△ABC的面积等于3,求a,b;
(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积.
解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-2abcos60°=c2,即a2+b2-ab=4,
又因为△ABC的面积等于3,所以12absinC=3,ab=4.
联立方程组a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.
(2)由正弦定理及已知条件,得b=2a,
联立方程组a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433.
所以△ABC的面积S=12absinC=233.
知能训练
1.在△ABC中,已知C=120°,两边a与b是方程x2-3x+2=0的两根,则c的值为…
( )
A.3 B.7 C.3 D.7
2.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1,2x+1(x>1),求三角形的角.
答案:
1.D 解析:由题意,知a+b=3,ab=2.
在△ABC中,由余弦定理,知
c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab
=(a+b)2-ab
=7,
∴c=7.
2.解:比较得知,x2+x+1为三角形的边,设其对角为A.
由余弦定理,得
cosA=x2-12+2x+12-x2+x+122x2-12x+1
=-12.
∵0
即三角形的角为120°.
课堂小结
1.教师先让学生回顾本节课的探究过程,然后再让学生用文字语言叙述余弦定理,准确理解其实质,并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题.
2.教师指出:从方程的观点来分析,余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量,知道其中三个量,便可求得第四个量.要通过课下作业,从方程的角度进行各种变形,达到辨明余弦定理作用的目的.
3.思考本节学到的探究方法,定性发现→定量探讨→得到定理.
作业
课本习题1—1A组4、5、6;习题1—1B组1~5.
设计感想
本教案的设计充分体现了“民主教学思想”,教师不主观、不武断、不包办,让学生充分发现问题,合作探究,使学生真正成为学习的主体,力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果.这样能够不同程度地开发学生的潜能,且使教学内容得以巩固和延伸.“发现法”是常用的一种教学方法,本教案设计是从直角三角形出发,以归纳——猜想——证明——应用为线索,用恰当的问题通过启发和点拨,使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来,而展现的过程合情合理,自然流畅,学生的主体地位得到了充分的发挥.
纵观本教案设计流程,引入自然,学生探究到位,体现新课程理念,能较好地完成三维目标,课程内容及重点难点也把握得恰到好处.环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识,使学生的探究欲望及精神状态始终处于状态.在整个教案设计中学生的思维活动量大,这是贯穿整个教案始终的一条主线,也应是实际课堂教学中的一条主线.
备课资料
一、与解三角形有关的几个问题
1.向量方法证明三角形中的射影定理
如图,在△ABC中,设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.
∵AC→+CB→=AB→,
∴AC→•(AC→+CB→)=AC→•AB→.
∴AC→•AC→+AC→•CB→=AC→•AB→.
∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.
∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.
∴b-acosC=ccosA,
即b=ccosA+acosC.
同理,得a=bcosC+ccosB,c=bcosA+acosB.
上述三式称为三角形中的射影定理.
2.解斜三角形题型分析
正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:
(1)已知两角及其中一个角的对边,如A、B、a,解△ABC.
解:①根据A+B+C=π,求出角C;
②根据asinA=bsinB及asinA=csinC,求b、c.
如果已知的是两角和它们的夹边,如A、B、c,那么先求出第三角C,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.
(2)已知两边和它们的夹角,如a、b、C,解△ABC.
解:①根据c2=a2+b2-2abcosC,求出边c;
②根据cosA=b2+c2-a22bc,求出角A;
③由B=180°-A-C,求出角B.
求出第三边c后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求较小边所对的角(它一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.
(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a、b、A,解△ABC.
解:①asinA=bsinB,经过讨论求出B;
②求出B后,由A+B+C=180°,求出角C;
③再根据asinA=csinC,求出边c.
(4)已知三边a、b、c,解△ABC.
解:一般应用余弦定理求出两角后,再由A+B+C=180°,求出第三个角.
另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.
(5)已知三角,解△ABC.
解:满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不.
3.“可解三角形”与“需解三角形”
解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具.但在具体解题时,有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手.至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数,这既延长了思考时间,更影响了解题的速度和质量.但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念,则情形就不一样了.
所谓“可解三角形”,是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形;而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素,并确定解的情况.
“可解三角形”和“需解三角形”的引入,能缩短求解斜三角形问 题的思考时间.一题到手后,先做什么,再做什么,心里便有了底.分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘,去探究.
二、备用习题
1.△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,a=6,cosA=78,则△ABC的面积S为( )
A.152 B.15 C.2 D.3
2.已知一个三角形的三边为a、b和a2+b2+ab,则这个三角形的角是( )
A.75° B.90° C.120° D.150°
3.已知锐角三角形的两边长为2和3,那么第三边长x的取值范围是( )
A.(1,5) B.(1,5) C.(5,5) D.(5,13)
4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
5.(1)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知a=3,b=3,C=30°,则A=__________.
(2)在△ABC中,三个角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为__________.
6.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且sinC=2sinBcosA,试判断△ABC的形状.
7.在△ABC中,设三角形面积为S,若S=a2-(b -c)2,求tanA2的值.
参考答案:
1.A 解析:由b2-bc-2c2=0,即(b+c)(b-2c)=0,得b=2c;①
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即6=b2+c2-74bc.②
解①②,得b=4,c=2.
由cosA=78,得sinA=158,
∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.
2.C 解析:设角为θ,由余弦定理,得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ,
∴cosθ=-12.∴θ=120°.
3.D 解析:若x为边,由余弦定理,知4+9-x22×2×3>0,即x2
若x为最小边,则由余弦定理知4+x2-9>0,即x2>5,
∴x>5.综上,知x的取值范围是5
4.A 解析:设直角三角形的三边为a,b,c,其中c为斜边,增加长度为x.
则c+x为新三角形的最长边.设其所对的角为θ,由余弦定理知,
cosθ=a+x2+b+x2-c+x22a+xb+x=2a+b-cx+x22a+xb+x>0.
∴θ为锐角,即新三角形为锐角三角形.
5.(1)30° (2)612 解析:(1)∵a=3,b=3,C=30°,由余弦定理,有
c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3,
∴a=c,则A=C=30°.
(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22
=a2+b2+c22=32+42+622=612.
6.解:由正弦定理,得sinCsinB=cb,
由sinC=2sinBcosA,得cosA=sinC2sinB=c2b,
又根据余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc,
故c2b=b2+c2-a22bc,即c2=b2+c2-a2.
于是,得b2=a2,故b=a.
又因为(a +b+c)(a+b-c)=3ab,
故(a+b)2-c2=3ab.由a=b,得4b2-c2=3b2,
所以b2=c2,即b=c.故a=b=c.
因此△ABC为正三角形.
7.解:S=a2-(b-c)2,又S=12bcsinA,
∴12bcsinA=a2-(b-c)2,
有14sinA=-b2+c2-a22bc+1,
即14•2sinA2•cosA2=1-cosA.
∴12•sinA2•cosA2=2sin2A2.
∵sinA2≠0,故12cosA2=2 sinA2,∴tanA2=14.
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及表达式,回顾上两节课所解决的解三角形问题,那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识我们会探究出什么样的解题规律呢?由此展开新课.
思路2.(问题导入)我们在应用正弦定理解三角形时,已知三角形的两边及其一边的对角往往得出不同情形的解,有时有一解,有时有两解,有时又无解,这究竟是怎么回事呢?本节课我们从一般情形入手,结合图形对这一问题进行进一步的探究,由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆正弦定理、余弦定理及其另一种形式的表达式,并用文字语言叙述其内容.能写出定理的哪些变式?
2正、余弦定理各适合解决哪类解三角形问题?
3解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些?
4为什么有时解三角形会出现矛盾,即无解呢?比如:,①已知在△ABC中,a=22 cm,b=25 cm,A=135°,解三角形;,②已知三条边分别是3 cm,4 cm,7 cm,解三角形.
活动:结合课件、幻灯片等,教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么?各式中有几个量?有什么作用?用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述),让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等.可让学生填写下表中的相关内容:
解斜三角形时可
用的定理和公式 适用类型 备注
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三边
(2)已知两边及其夹角
类型(1)(2)有解时只有一解
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
(3)已知两角和一边
(4)已知两边及其中一边的对角 类型(3)在有解时只有一解,类型(4)可有两解、一解或无解
三角形面积公式
S=12bcsinA
=12acsinB
=12absinC
(5)已知两边及其夹角
对于正弦定理,教师引导学生写出其变式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,利用幻灯片更能直观地看出解三角形时的边角互化.对于余弦定理,教师要引导学生写出其变式(然后教师打出幻灯片):∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A
以上内容的复习回顾如不加以整理,学生将有杂乱无章、无规碰撞之感,觉得好像更难以把握了,要的就是这个效果,在看似学生乱提乱问乱说乱写的时候,教师适时地打出幻灯片(1张),立即收到耳目一新,主线立现、心中明朗的感觉,幻灯片除以上2张外,还有:
asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.
出示幻灯片后,必要时教师可根据学生的实际情况略作点评.
与学生一起讨论解三角形有时会出现无解的情况.如问题(4)中的①会出现如下解法:
根据正弦定理,sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.
∵0°
于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.
到这里我们发现解三角形竟然解出负角来,显然是错误的.问题出在哪里呢?在检验以上计算无误的前提下,教师引导学生分析已知条件.由a=22 cm,b=25 cm,这里a
讨论结果:
(1)、(3)、(4)略.
(2)利用正弦定理和余弦定理可解决以下四类解三角形问题:
①已知两角和任一边,求其他两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
③已知三边,求三个角.
④已知两边和夹角,求第三边和其他两角.
应用示例
例1在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,b=acosC且△ABC的边长为12,最小角的正弦值为13.
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
活动:教师与学生一起共同探究本例,通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联,引导学生观察条件b=acosC,这是本例中的关键条件.很显然,如果利用正弦定理实现边角转化,则有2RsinB=2RsinA•cosC.若利用余弦定理实现边角转化,则有b=a•a2+b2-c22ab,两种转化策略都是我们常用的.引导学生注意对于涉及三角形的三角函数变换.内角和定理A+B+C=180°非常重要,常变的角有A2+B2=π2-C2,2A+2B+2C=2π,sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),sinA2=cosB+C2,cosA2=sinB+C2等,三个内角的大小范围都不能超出(0°,180°).
解:(1)方法一:∵b=acosC,
∴由正弦定理,得sinB=sinA•cosC.
又∵sinB=sin(A+C),∴sin(A+C)=sinA•cosC,
即cosA•sinC=0.
又∵A、C∈(0,π),∴cosA=0,即A=π2.
∴△ABC是A=90°的直角三角形.
方法二:∵b=acosC,
∴由余弦定理,得b=a•a2+b2-c22ab,
2b2=a2+b2-c2,即a2=b2+c2.
由勾股定理逆定理,知△ABC是A=90°的直角三角形.
(2)∵△ABC的边长为12,由(1)知斜边a=12.
又∵△ABC最小角的正弦值为13,
∴Rt△ABC的最短直角边长为12×13=4.
另一条直角边长为122-42=82,
∴S△ABC=12×4×82=162.
点评:以三角形为载体,以三角变换为核心,结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向.因此要特别关注三角函数在解三角形中的灵活运用,及正、余弦定理的灵活运用.
变式训练
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且cosA=45.
(1)求sin2B+C2+cos2A的值;
(2)若b=2,△ABC的面积S=3,求a.
解:(1)sin2B+C2+cos2A=1-cosB+C2+cos2A
=1+cosA2+2cos2A-1=5950.
(2)∵cosA=45,∴sinA=35.
由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35,解得c=5.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得a2=4+25-2×2×5×45=13,
∴a=13.
例2已知a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若a=7,c=5,∠A=120°,求边长b及△ABC外接圆半径R.
活动:教师引导学生观察已知条件,有边有角,可由余弦定理先求出边b,然后利用正弦定理再求其他.点拨学生注意体会边角的互化,以及正弦定理和余弦定理各自的作用.
解:由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA,即b2+52-2×5×bcos120°=49,
∴b2+5b-24=0.
解得b=3.(负值舍去).
由正弦定理:asinA=2R,即7sin120°=2R,解得R=733.
∴△ABC中,b=3,R=733.
点评:本题直接利用余弦定理,借助方程思想求解边b,让学生体会这种解题方法,并探究其他的解题思路.
变式训练
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2+c2=a2+3bc,求:
(1)A的大小;
(2)2sinB•cosC-sin(B-C)的值.
解:(1)由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,
∴∠A=30°.
(2)2sinBcosC-sin(B-C)
=2sinBcosC-(sinB•cosC-cosBsinC)
=sinBcosC+cosBsinC
=sin(B+C)
=sinA
=12.
例3如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠BCD=75°,∠ACB=∠BDC=45°,DC=3,求:
(1)AB的长;
(2)四边形ABCD的面积.
活动:本例是正弦定理、余弦定理的灵活应用,结合三角形面积求解,难度不大,可让学生自己独立解决,体会正、余弦定理结合三角形面积的综合应用.
解:(1)因为∠BCD=75°,∠ACB=45°,所以∠ACD=30°.
又因为∠BDC=45°,
所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.
在△BCD中,∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°,
所以BDsin75°=DCsin60°,BD =3sin75°sin60°=6+22.
在△ABD中,AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5,所以AB=5.
(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.
同理, S△BCD=3+34.
所以四边形ABCD的面积S=6+334.
点评:本例解答对运算能力提出了较高要求,教师应要求学生“列式工整、算法简洁、运算正确”,养成规范答题的良好习惯.
变式训练
如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.
(1)求cos∠CBE的值;
(2)求AE.
解:(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,
CB=AC=CD,
所以∠CBE=15°.
所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.
(2)在△ABE中,AB=2,
由正弦定理,得AEsin45°-15°=2sin90°+15°,
故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.
例4在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
活动:此题所证结论包含关于△ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如sin2B=2sinBcosB等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证法一: (化为三角函数)
a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2•2sinB•cosB+(2RsinB)2•2sinA•cosA=8R2sinA•sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=2absinC.
所以原式得证.
证法二: (化为边的等式)
左边=a2•2sinBcosB+b2•2sinAcosA=a2•2b2R•a2+c2-b22ac+b2•2a2R•b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc•2c2=2ab•c2R=2absinC.
点评:由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA•cosA,正弦两角和公式sin(A+B)=sinA•cosB+cosA•sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.
变 式训练
在△ABC中,求证:
(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;
(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).
证明:(1)根据正弦定理,可设
asinA=bsinB= csinC= k,
显然 k≠0,所以
左边=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右边.
(2)根据余弦定理,得
右边=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
=a2+b2+c2=左边.
知能训练
1.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c.若△ABC的面积S=c2-(a-b)2,则tanC2等于( )
A.12 B.14 C.18 D.1
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足4sin2A+C2-cos2B=72.
(1)求角B的度数;
(2)若b=3,a+c=3,且a>c,求a、c的值.
答案:
1.B 解析:由余弦定理及面积公式,得
S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC,
∴1-cosCsinC=14.
∴tanC2=1-cosCsinC=14.
2.解:(1)由题意,知4cos2B-4cosB+1=0,∴cosB=12.
∵0
(2)由余弦定理,知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac,
∴ac=2.①
又∵a+c=3,②
解①②联立的方程组,得a=2,c=1或a=1,c=2.
∵a>c,∴a=2,c=1.
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课我们共同探究的解三角形问题,特别是已知两边及其一边的对角时解的情况,通过例题及变式训练,掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题.学到了具体问题具体分析的良好思维习惯.
教师进一步点出,解三角形问题是确定线段 的长度和角度的大小,解三角形需要利用边角关系,三角形中,有六个元素:三条边、三个角;解三角形通常是给出三个独立的条件(元素),求出其他的元素,如果是特殊的三角形,如直角三角形,两个条件(元素)就够了.正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理,正弦定理适用于已知两角一边,求其他要素;余弦定理适用于已知两边和夹角,或者已知三边求其他要素.
作业
课本本节习题1—1B组6、7.
补充作业
1.在△ABC中,若tanAtanB=a2b2,试判断△ABC的形状.
2.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,A=60°,B>C,b、c是方程x2-23x+m=0的两个实数根,△ABC的面积为32,求△ABC的三边长.
解答:1.由tanAtanB=a2b2,得sinA•cosBcosA•sinB=a2b2,
由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,
∴sinA•cosBcosA•sinB=4R2sin2A4R2sin2B.
∴sinA•cosA=sinB•cosB,
即sin2A=sin2B.
∴A+B=90°或A=B,
即△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2.由韦达定理,得bc=m,S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32,
∴m=2.
则原方程变为x2-23x+2=0,
解得两根为x=3±1.
又B>C,∴b>c.
故b=3+1,c=3-1.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6,得a=6.
∴所求三角形的三边长分别为a=6,b=3+1,c=3-1.
设计感想
本教案设计的思路是:通过一些典型 的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法,具体解三角形时,所选例题突出了函数与方程的思想,将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组,处理已知量与未知量之间的关系.
本教案的设计注重了一题多解的训练,如例4给出了两种解法,目的是让学生对换个角度看问题有所感悟,使学生经常自觉地从一个思维过程转换到另一个思维过程,逐步培养出创新意识.换一个角度看问题,变通一下,也许会有意想不到的效果.
备课资料
一、正弦定理、余弦定理课外探究
1.正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决.
【例1】 已知a、b为△ABC的边,A、B分别是a、b的对角,且sinAsinB=32,求a+bb的值.
解:∵asinA=bsinB,∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(这是角的关系),
∴ab=32(这是边的关系).于是,由合比定理,得a+bb=3+22=52.
【例2】 已知△ABC中,三边a、b、c所对的角分别是A、B、C,且2b=a+c.
求证:sinA+sinC=2sinB.
证明:∵a+c=2b(这是边的关系),①
又asinA=bsinB=csinC,∴a=bsinAsinB,②
c=bsinCsinB.③
将②③代入①,得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理,得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).
2.正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:
【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.
解:原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°,
∵20°+10°+150°=180°,∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.
设这三个内角所对的边依次是a、b、c,由余弦定理,得a2+b2-2abcos150°=c2.(*)
而由正弦定理,知a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代入(*)式,得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.
二、备用习题
1.在△ABC中,已知a=11,b=20,A=130°,则此三角形( )
A.无解 B.只有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
2.△ABC中,已知(a+c)(a-c)=b2+bc,则A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.△ABC中,若acosB=bcosA,则该三角形一定是( )
A.等腰三角形但不是直角三角形
B.直角三角形但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.△ABC中,tanA•tanB
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
5.在△ABC中,若∠B=30°,AB=23,AC=2,则△ABC的面积是__________.
6.在△ABC中,已知A=120°,b=3,c=5,求:
(1)sinBsinC;
(2)sinB+sinC.
7.在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且cos〈AB→,AC→〉=14.
(1)求sin2B+C2+cos2A的值;
(2)若a=4,b+c=6,且b
参考答案:
1.A 解析:∵a90°,因此无解.
2.C 解析:由已知,得a2-c2=b2+bc,∴b2+c2-a2=-bc.
由余弦定理,得
cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.
∴A=120°.
3.D 解析:由已知条件结合正弦定理,得
sinAcosB=sinBcosA,即sinA•cosA=sinB•cosB,
∴sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A=180°-2B,
即A=B或A+B= 90°.
因此三角形为等腰三角形或直角三角形.
4.B 解析:由已知条件,得sinAcosA•sinBcosB0,cosCcosAcosB
说明cosA,cosB,cosC中有且只有一个为负.
因此三角形为钝角三角形.
5.23或3 解析:由ACsin30°=ABsinC,知sinC=32.
若∠C=60°,则△ABC是直角三角形,S△ABC=12AB×AC=23.
若∠C=120°,则∠A=30°,S△ABC=12AC×AB•sin30°=3.
6.解法一:(1)∵b=3,c=5,A=120°,
∴由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.
由正弦定理,得sinB=bsinAa=3×327=3314,sinC=csinAa=5314,
∴sinBsinC=45196.
(2)由(1)知,sinB+sinC=8314=437.
解法二:(1)由余弦定理,得a=7,
由正弦定理a=2RsinA,得R=a2sinA=733,
∴sinB=b2R=32×733=3314,sinC=c2R=5314.
∴sinBsinC=45196.
(2)由(1)知,sinB+sinC=8314=437.
7.解:(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.
(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,
即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA
数学《余弦定理》教学反思
本节课是高中数学教材北师大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一课时内容,《课程标准》和教材把解三角形这部分内容安排在必修5,位置相对靠后,在此前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容,使得这部分知识的处理有了比较多的工具,某些内容处理的更加简洁。学数学的最终目的是应用数学,可是比较突出的是,学生应用数学的意识不强,创造能力弱,往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的知识应用到实际问题中去,尽管对一些常见数学问题解法的能力较强,但当面临一种新的问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的思维方法了解不够,针对这些情况,教学中要重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用于实际问题。
余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理,是解决有关三角形问题与实际问题(如测量等)的重要定理,它将三角形的边角有机的结合起来,实现了边与角的互化,从而使三角和几何有机的结合起来,为求与三角形有关的问题提供了理论依据。
教科书直接从三角形三边的向量出发,将向量等式转化为数量关系,得到余弦定理,言简意赅,简洁明快,但给人感觉似乎跳跃较大,不够自然,因此在创设问题情境中加了一个铺垫,即让学生想用向量方法证明勾股定理,再由特殊到一般,将直角三角形推广为任意三角形,余弦定理水到渠成,并与勾股定理统一起来,这一尝试是想回答:一个结论源自何处,是怎样想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加减法运算,其实向量的加减法的三角法则和平行四四边形法则从形上揭示了三角形的边角关系,而正弦定理与余弦定理是从数量关系上揭示了三角形的边角关系,向量的数量积则打通了三角形边角的数形联系,因此用向量方法证明正、余弦定理比较简洁,在证明余弦定理时,让学生自主探究,寻找新的证法,拓展思维,打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系,在比较各种证法后体会到向量证法的优美简洁,使知识交融、方法熟练、能力提升。
数学教学的主要目标是激发学生的潜能,教会学生思考,让学生变得聪明,学会数学的发现问题,具有创新品质,具备数学文化素养是题中之义,想一想,成人工作以后,有多少人会再用到余弦定理,但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽。数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力,让学生想学数学这门课,同时指导学生掌握数学学习的一般方法,具备终身学习的基础。教师要不断提出好的数学问题,还要教会学生提出问题,培养学生发现问题的意识和方法,并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯,在本节课中,通过余弦定理的发现过程,培养学生观察、类比、发现、推理的能力,学生在教师引导下,自主思考、探究、小组合作相互交流启发、思维碰撞,寻找不同的证明方法,既培养了学生学习数学的兴趣,同时掌握了学习概念、定理的基本方法,增强了学生的问题意识。其次,掌握正确的学习方法,没有正确的学习方法,兴趣不可能持久,概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法,学习的过程就是知其然,知其所以然、举一反三的过程,学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的范例,引导学生发现余弦定理的来龙去脉,掌握余弦定理证明方法,理解余弦定理与其他知识的密切联系,应用余弦定理解决其他问题。在余弦定理教学中,寻求一题多解,探究证明余弦定理的多种方法,指导一题多变,改变余弦定理的形式,如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式,启发学生一题多想,引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系,与勾股定理的联系、与向量的联系、与三角知识的联系以及与其他知识方法的联系,通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式,夯实了数学基础,打通了知识联系,掌握了数学的基本方法,丰富了数学基本活动经验,激发了数学创造思维和潜能。
教学中也会有很多遗憾,有许多的漏洞,在创设情境,引导学生发现推导方法、鼓励学生质疑提问、猜想等方面有很多遗憾,比如:如何引入向量,解释的不够。最后,希望各位同仁批评指正。
正弦定理课件教案(篇4)
本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时,它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓,也是坐标法等知识在三角形中的具体运用,是生产、生活实际问题的重要工具,正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系,它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用,在课型上属于“定理教学课”。因此,做好“正弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,学生通过对定理证明的探究和讨论,体验到数学发现和创造的历程,进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
对高一的学生来说,一方面已经学习了平面几何,解直角三角形,任意角的三角比等知识,具有一定观察分析、解决问题的能力;但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍,思维灵活性、深刻性受到制约。根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,注意前后知识间的联系,引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想:
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面,也是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不仅是通过教师传授得到的,更重要的是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学,将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标:
1、在创设的问题情境中,让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发,探索和证明正弦定理,体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性,感受数学论证的严谨性.
2、理解三角形面积公式,能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题,并初步认识用正弦定理解三角形时,会有一解、两解、无解三种情况。
3、通过对实际问题的探索,培养学生的数学应用意识,激发学生学习的兴趣,让学生感受到数学知识既来源于生活,又服务与生活。
教学重点:正弦定理的探索与证明;正弦定理的基本应用。
突破难点的手段:抓知识选择的切入点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生
主体下给于适当的提示和指导。
六、复习引入:
1.在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角的边角关系?是否可以把边、角关系准确量化?
2.在ABC中,角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c,你能发现它们之间有什么关系吗?
结论:
证明:(向量法)过A作单位向量j垂直于AC,由AC+CB=AB边同乘以单位向量。
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。
正弦定理课件教案(篇5)
高中数学正弦定理教案,一起拉看看吧。
本节内容是正弦定理教学的第一节课,其主要任务是引入并证明正弦定理.做好正弦定理的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.
本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算,这是一种基本运算能力,学生基本上已经掌握了.若在解题中出现了错误,则应及时纠正,若没出现问题就顺其自然,不必花费过多的时间.
本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理.
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法,会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.
2.通过正弦定理的探究学习,培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践,并成功解决实际问题,激发学生对数学学习的热情,培养学生独立思考和勇于探索的创新精神.
教学难点:正弦定理的探索和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时,判断解的个数.
思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式,如Rt△ABC中的边角关系,若∠C为直角,则有a=csinA,b=csinB,这两个等式间存在关系吗?学生可以得到asinA=bsinB,进一步提问,等式能否与边c和∠C建立联系?从而展开正弦定理的探究.
思路2.(情境导入)如图,某农场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点A和B,某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生.在A处测到火情在北偏西40°方向,而在B处测到火情在北偏西60°方向,已知B在A的正东方向10千米处.现在要确定火场C距A、B多远?将此问题转化为数学问题,即“在△ABC中,已知∠CAB=130°,∠CBA=30°,AB=10千米,求AC与BC的长.”这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的必要知识,今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理,由此展开新课的探究学习.
1阅读本章引言,明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题?
2联想学习过的三角函数中的边角关系,能否得到直角三 角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系?
3由2得到的数量关系式,对一般三角形是否仍然成立?
4正弦定理的内容是什么,你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法证明它?
5什么叫做解三角形?
6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢?
活动:教师引导学生阅读本章引言,点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要,使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如教师可提出以下问题:怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题.
关于任意三角形中大边对大角、小 边对小角的边角关系,教师引导学生探究其数量关系.先观察特殊的直角三角形.如下图,在Rt△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有ac=sinA,bc=sinB,又sinC=1=cc,则asinA=bsinB=csinC=c.从而在Rt△ABC中,asinA=bsinB=csinC.
那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立呢?教师引导学生画图讨论分析.
如下图,当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角的三角函数的定义,有CD=asinB=bsinA,则asinA=bsinB.同理,可得csinC=bsinB.从而asinA=bsinB=csinC.
(当△ABC是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成)
通过上面的讨论和探究,我们知道在任意三角形中,上述等式都成立.教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理.
上述的探究过程就是正弦定理的证明方法,即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明.教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想,同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中,各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系;描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为如果∠A<∠B,由三角形性质,得a<b.当∠A、∠B都是锐角,由正弦函数在区间(0,π2)上的单调性,可知sinA<sinB.当∠A是锐角,∠B是钝角时,由于∠A+∠B<π,因此∠B<π-∠A,由正弦函数在区间(π2,π)上的单调性,可知sinB>sin(π-A)=sinA,所以仍有sinA<sinB.
正弦定理的证明方法很多,除了上述的证明方法以外,教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法.
(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形.
(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题:①已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一角,并由正弦定理计算出三角形的另两边,即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.②已知三 角形的任意两边与其中一边的对角,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边和 角,即“两边一对角问题”.这类问题的答案有时不是唯一的,需根据实际情况分类讨论.
例1在△ABC中,已知∠A=32.0°,∠B=81.8°,a=42.9 cm,解此三角形.
活动:解三角形就是已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程,在本例中就是求解∠C,b,c.
此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边b,若求边c,则先求∠C,再利用正弦定理即可.
∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°.
b=asinBsinA=42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm);
c=asinCsinA=42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm).
点评:(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角及两角所夹的边,也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角,再利用正弦定理.
称赞课件教案(系列3篇)
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称赞课件教案【篇1】
一、设计理念:
21世纪是合作的世纪。沟通、交流、合作、对话、分享、团队精神,这些观念渐入人心。如何使学生在这些方面得到发展,教育(尤其是语文教学)起到不可替代的作用。本课是第三册第五组课文里的第一篇,主旨是让学生学会互相欣赏,学会与人分享,体现着浓郁的时代气息和现代意识。本设计紧扣课题,抓住两个问题:文中小动物是怎么相互称赞的?他们的称赞给对方带来了什么?让学生设身处地、深入其境地进行朗读体会,感受称赞别人能带来意想不到的收效。学生在朗读中积累语言,在交流中运用语言,在感悟中明白了文章的寓意。
二、学习目标:
1、知道称赞的作用,初步学会用言语称赞别人的优点。
2、认识“刺猬”等10个生字,会写8个字。
3、正确、流利、有感情地朗读课文,体会相互称赞带来的快乐。
三、教学重点:
体会称赞的巨大作用,并用朗读表现出来。
四、教学难点:
学习用言语称赞别人,并能在生活中运用。
1、老师表扬一名精神状态好的同学,然后问他:“听到老师表扬你,你开心吗?这堂课你想怎么表现自己?”
1、学生自由读课文,圈划生字词,并自学生字。
3、交流识字方法,重点识记字形较难的字“凳、糙”。
4、再读课文,找找课文里有哪两只小动物?
①生答,师在黑板上贴上小刺猬和小獾的图片,并写上字,再请学生亲切地叫一叫它们的名字。
②课文写了小刺猬和小獾之间的什么事?(根据学生回答画上箭头 )
③你能根据课文内容,把下面的句子说完整吗?
小刺猬看见小獾 ,就称赞了它,于是,小獾 。
小獾收下 ,也称赞了小刺猬,于是,小刺猬 。
1、细细地读课文,找到它们互相称赞的话读一读。
①指名读小刺猬称赞小獾的话。
②看课文插图(投影出示),小板凳做得怎么样?(引出“粗糙”)小獾的板凳做得很粗糙,为什么小刺猬还要称赞它?
③朗读小刺猬的话,读出真心实意,诚恳的语气。(范读——自由读——指名读——评议)
④听了称赞后,小獾心里会想些什么?
2、小刺猬的称赞有没有给小獾带来收获?
①指名读小獾的话,说说小獾的收获。
②假如你是小獾,当时你会怎么说这句话?指导朗读(范读、指名读、齐读)
3、小獾又是怎么称赞小刺猬的呢?你能读好这句话吗?
4、小獾的称赞给小刺猬带来了什么?
②引导学生质疑:小刺猬一整天都在山上采果子,没有休息过,它的疲劳怎么会消失呢?体会称赞带来的巨大作用。
③指导朗读最后一段,如果你是小刺猬,你又会怎么说这句话?(带着感激的心情读)
6、小组合作,表演课文,再请表演得好的小组上台表演。
1、如果一开始小刺猬不是称赞小獾,而是嘲笑他,那会有什么后果?
2、学习了课文,你有什么感受吗?
3、请你学学文中的小动物,称赞班里的一位同学,夸夸他的优点,好吗?
1、出示生字,观察、分析字形结构。
2、师范写,生书空。
3、学生临写生字。
称赞课件教案【篇2】
【教学目标】
1、朗读课文,巩固课文内容,体会课文中称赞带来快乐。
2、指导书写生字,要求学生注意运用识字方法。
3、结合课文,联系生字实际,进行实践活动。
【教学重点】
1、学会生字,会写生字。
2、体会称赞带来快乐。
3、教学准备:投影
【教学方法】练习法、讨论法
【教学过程】
一、出示小刺猬人谢谢你,你的称赞消除了我一天的疲劳!问:这句话的深刻含义你能理解吗?学生说说自己理解的观点。
二、指导书写生字
猬、板但、糙。
2、识记字形,鼓励学生自主识字,交流识字方法。
识字方法举例
(1)用加一加方法识字
旦但旁傍反板造糙奇椅
(2)组词竞赛识字。
(3)读句子识字,造句识字。
消右边部分要比三点水高。
三、实践活动
1、自己选一个同字,夸夸他的优点,特别要注意选择平时表现不太积极的学生,发现他们的长处。
2、回家选择合适时机,用恰当的方法,试着称赞家人。
称赞课件教案【篇3】
教学目标:
猬、板、凳、糙、但、傍、椅、瞧、留。
流利、有感情地朗读课文,感受称赞别人的真诚,体会相互称赞带来的快乐。
3、学着发现别人身上的优点。
教学重难点:
正确、流利、有感情地朗读课文;感受称赞别人的真诚,体会称赞带来的快乐。学着发现别人身上的优点。
教学准备:
教学课件、生字卡片
教学预设:
一、激趣导入
这就是给大家带来的第一位小伙伴—小刺猬。第二位小伙伴是谁呀?(出示小獾的图片)你瞧他的头长长的,耳朵短短的尖尖的,前爪也很长,善于在树下挖洞,他还有冬眠的习性呢,让我们也和可爱的小獾打声招呼吧。
把课题读一读。
二、认读字词、初读课文
4、同桌两个小朋友互相合作,玩一个“你指我读”的游戏。
6、这些生字宝宝躲进词语中了,我们来读一读。
7、生字宝宝又回到课文里了,让我们再去读读。读了课文,你知道是谁称赞谁吗?
三、再读课文,朗读感悟,体会“称赞”。
随机出示:●“你真能干,小板凳做得一个比一个好!”●“你的苹果香极了,我从来没有见过这么好的苹果。”(指导朗读)
2、小刺猬是这样称赞小獾的,小獾的反应怎样?他为什么这么高兴?
说话。
4、看着这样一个个粗糙的小板凳,想想小獾当时会怎样想呢?可是小刺猬却称赞了小獾,小獾真高兴啊!
所以它到傍晚时,已经……?(能够做椅子了)
6、这是一种称赞的力量,正是因为有了小刺猬的称赞,小獾才有了信心。
7、我们知道他们是互相称赞的,刚才我们主要学习了小刺猬对小獾的称赞,那么小獾对小刺猬的称赞发生在傍晚,我们下节课再来学习。
四、拓展延伸
称赞给予我们那么多神奇的力量,带给我们那么多的欢乐,那么在生活中,你体会过称赞带给你们的快乐了吗?
五、书写生字“板”、“椅”